Question

【題目】如圖所示，點(diǎn)C為線段OB的中點(diǎn)，D為線段OA上一點(diǎn)．連結(jié)AC、BD交于點(diǎn)P．

（問題引入）（1）如圖1，若點(diǎn)P為AC的中點(diǎn)，求的值．

溫馨提示：過點(diǎn)C作CE∥AO交BD于點(diǎn)E．

（探索研究）（2）如圖2，點(diǎn)D為OA上的任意一點(diǎn)（不與點(diǎn)A、O重合），求證：．

（問題解決）（3）如圖2，若AO=BO，AO⊥BO，，求tan∠BPC的值．

Answer 1

【答案】（1）；(2) 見解析；(3)

【解析】

（1）過點(diǎn)C作CE∥OA交BD于點(diǎn)E，即可得△BCE∽△BOD，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得，再證明△ECP≌△DAP，由此即可求得的值；（2）過點(diǎn)D作DF∥BO交AC于點(diǎn)F，即可得，，由點(diǎn)C為OB的中點(diǎn)可得BC=OC，即可證得；（3）由（2）可知=，設(shè)AD=t，則BO=AO=4t，OD=3t，根據(jù)勾股定理求得BD=5t，即可得PD=t，PB=4t，所以PD=AD，從而得∠A=∠APD=∠BPC，所以tan∠BPC=tan∠A=．

（1）如圖1，過點(diǎn)C作CE∥OA交BD于點(diǎn)E，

∴△BCE∽△BOD，

∴=，

又BC=BO，∴CE=DO．

∵CE∥OA，∴∠ECP=∠DAP，

又∠EPC=∠DPA，PA=PC，

∴△ECP≌△DAP，

∴AD=CE=DO，

即 =；

（2）如圖2，過點(diǎn)D作DF∥BO交AC于點(diǎn)F，

則 =， =．

∵點(diǎn)C為OB的中點(diǎn)，

∴BC=OC，

∴=；

（3）如圖2，∵=，

由（2）可知==．

設(shè)AD=t，則BO=AO=4t，OD=3t，

∵AO⊥BO，即∠AOB=90°，

∴BD==5t，

∴PD=t，PB=4t，

∴PD=AD，

∴∠A=∠APD=∠BPC，

則tan∠BPC=tan∠A==．