Question

（1）如圖①，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BD⊥AC于點D．求證：AB²=ADAC；
（2）如圖②，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，點D為BC邊上的點，BE⊥AD于點E，延長BE交AC于點F．，求的值；
（3）在Rt△ABC中，∠ABC=90°，點D為直線BC上的動點（點D不與B、C重合），直線BE⊥AD于點E，交直線AC于點F．若，請?zhí)骄坎⒅苯訉懗?IMG style="WIDTH: 17px; HEIGHT: 34px; VERTICAL-ALIGN: middle" src="http://thumb.zyjl.cn/pic1/upload/papers/c02/20120822/201208221539343691052.png">的所有可能的值（用含n的式子表示），不必證明．

Answer 1

（1）證明：如圖①，∵BD⊥AC，∠ABC=90°，
∴∠ADB=∠ABC，
又∵∠A=∠A，
∴△ADB≌△ABC，
∴，
∴AB²=AD·AC．
（2）解：方法一：
如圖②，過點C作CG⊥AD交AD的延長線于點C，
∵BE⊥AD，
∴∠CGD=∠BDE=90°，CG∥BF．
∴，
∴AB=BC=2BD=2DC，BD=DC，
又∵∠BDE=∠CDG，
∴△BDE≌△CDG，
∴ED=GD=EG．
由（1）可得：AB²=AE·AD，BD²=DE·AD，
∴=4，
∴AE=4DE，
∴=2．
∴CG∥BF，
∴=2．
方法二：
如圖③，過點D作DG∥BF，交AC于點G，
∵，
∴BD=DC=BC，AB=BC．
∵DG∥BF，
∴=2，F(xiàn)C=2FG．
由（1）可得：AB²=AE·AD，BD²=DE·AD，
∴=4，
∵DG∥BF，
∴=4，
∴=2．
（3）解：點D為直線BC上的動點（點D不與B、C重合），有三種情況：
（I）當(dāng)點D在線段BC上時，如圖④所示：
過點D作DG∥BF，交AC邊于點G．
∵，
∴BD=nDC，BC=（n+1）DC，AB=n（n+1）DC．
∵DG∥BF，
∴=n，
∴FG=nGC，F(xiàn)G=FC．
由（1）可得：AB²=AE·AD，BD²=DE·AD，
∴=（n+1）²；
∵DG∥BF，
∴=（n+1）²，
即=（n+1）²，化簡得：=n²+n；
（II）當(dāng)點D在線段BC的延長線上時，如圖⑤所示：
過點D作DG∥BE，交AC邊的延長線于點G．
同理可求得：=n²﹣n；
（III）當(dāng)點D在線段CB的延長線上時，如圖⑥所示：
過點D作DG∥BF，交CA邊的延長線于點G．
同理可求得：=n﹣n²．