Question

如圖，拋物線y=

1

2

x²+bx+c與y軸交于點(diǎn)C，與x軸相交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2，0），點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，-4）．
（1）求拋物線的解析式；
（2）點(diǎn)Q是線段OB上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)Q作QE∥BC，交AC于點(diǎn)E，連接CQ，設(shè)OQ=m，當(dāng)△CQE的面積最大時(shí)，求m的值，并寫出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；
（3）若平行于x軸的動(dòng)直線，與該拋物線交于點(diǎn)P，與直線BC交于點(diǎn)F，D的坐標(biāo)為（-2，0），則是否存在這樣的直線l，使OD=DF？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析：（1）利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式即可得出答案；
（2）首先求出△AEQ∽△ACB進(jìn)而得出EG=

2m+4

3

，再利用S_△CQE=S_△ACQ-S_△AEQ得出關(guān)于m的二次函數(shù)關(guān)系進(jìn)而得出答案；
（3）得出F（-2，-2）進(jìn)而代入y=

1

2

x²+x-4求出P點(diǎn)坐標(biāo)即可．

解答：解：（1）把x=2，y=0；x=0，y=-4代入y=

1

2

x²+bx+c，
得

0= 1 2 ×4+2b+c -4=c.

解得

b=1 c=-4.

故所求拋物線的解析式為y=

1

2

x²+x-4．           

（2）如圖1，作EG⊥AQ于點(diǎn)G，由（1）可知，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（-4，0）．
∴CO=4，AB=6，AQ=m+2．
∵QE∥BC，
∴△AEQ∽△ACB．
∴

EG

CO

=

AQ

AB

，即

EG

4

=

m+2

6

．
∴EG=

2m+4

3

．
∴S_△CQE=S_△ACQ-S_△AEQ=

1

2

AQ•CO-

1

2

AQ•EG=

1

2

(m+2)(4-

2m+4

3

)，
=-

1

3

m2+

2

3

m+

8

3

=-

1

3

(m-1)2+3．
當(dāng)m=1時(shí)，當(dāng)△CQE的面積最大．
此時(shí)，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（-1，0）．                  

（3）若存在，如圖2，
∵點(diǎn)B的坐標(biāo)為（-4，0），D的坐標(biāo)為（-2，0），DO=DF，
∴DB=DF．∴∠ABC=∠BFD．
∵OC=OB，∠ABC=∠BCO=45°．
∴∠ABC=∠BFD=45°．
∴FD⊥AB．
則F（-2，-2）．
∴

1

2

x²+x-4=-2．
解得x₁=-1-

5

，x₂=-1+

5

．
所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為（-1-

5

，-2）或（-1+

5

，-2）．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了二次函數(shù)的綜合應(yīng)用以及相似三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，根據(jù)相似三角形的判定與性質(zhì)得出△AEQ∽△ACB是解題關(guān)鍵．