Question

取一張矩形的紙進(jìn)行折疊，具體操作過(guò)程如下：
第一步：先把矩形ABCD對(duì)折，折痕為MN，如圖1；
第二步：再把B點(diǎn)疊在折痕線MN上，折痕為AE，點(diǎn)B在MN上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為Bn，得Rt△ABE，如圖2；
第三步：沿EB線折疊得折痕EF，如圖3；
利用展開(kāi)圖4探究：
（1）△AEF是什么三角形？證明你的結(jié)論．
（2）對(duì)于任一矩形，按照上述方法是否都能折出這種三角形？請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

（1）△AEF是等邊三角形．
證明：∵△ABE與△AB′E完全重合，
∴△ABE≌△AB′E，∠BAE=∠1，
由平行線等分線段定理知EB′=B′F，
又∵∠AB′E=90°
∴△AB′E≌△AB′F，
∴AE=AF，∠1=∠2=

1

3

∠BAD=30°，
∴△AEF是等邊三角形．

（2）不一定．
由上推證可知當(dāng)矩形的長(zhǎng)恰好等于等邊△AEF的邊AF時(shí)，即矩形的寬：長(zhǎng)=AB：AF=sin60°=

3

：2
時(shí)正好能折出．
設(shè)矩形的長(zhǎng)為a，寬為b，可知
當(dāng)b≤

3

2

a時(shí)，按此法一定能折出等邊三角形；
當(dāng)

3

2

a＜b＜a時(shí)，按此法無(wú)法折出完整的等邊三角形．