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        1. 已知:△ABC是⊙O的內(nèi)接三角形,BT為⊙O的切線(xiàn),B為切點(diǎn),P為直線(xiàn)AB上一點(diǎn),過(guò)點(diǎn)P做BC的平行線(xiàn)交直線(xiàn)BT于點(diǎn)E,交直線(xiàn)AC于點(diǎn)F.
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          (1)當(dāng)點(diǎn)P在線(xiàn)段AB上時(shí)(如圖).求證:PA•PB=PE•PF;
          (2)當(dāng)點(diǎn)P為線(xiàn)段BA延長(zhǎng)線(xiàn)上一點(diǎn)時(shí),第(1)題的結(jié)論還成立嗎?如果成立,請(qǐng)證明;如果不成立,請(qǐng)說(shuō)明理由;
          (3)若AB=4
          2
          cos∠EBA=
          1
          3
          ,求⊙O的半徑.
          分析:(1)解決此問(wèn)的關(guān)鍵是通過(guò)平行和圓的切線(xiàn)性質(zhì)證明△PFA∽△PBE.(2)成立,方法同上.(3)本題主要是通過(guò)銳角三角函數(shù)來(lái)解決問(wèn)題的.
          解答:(1)證明:∵BT切⊙O于點(diǎn)B,
          ∴∠EBA=∠C,
          ∵EF∥BC,
          ∴∠AFP=∠C,
          ∠AFP=∠EBP,
          ∵∠APF=∠EPB,
          ∴△PFA∽△PBE,
          PA
          PE
          =
          PF
          PB
          ,
          ∴PA•PB=PE•PF;

          (2)解:當(dāng)P為BA延長(zhǎng)線(xiàn)上一點(diǎn)時(shí),第(1)題的結(jié)論仍成立(如圖)
          ∵BT切⊙O于點(diǎn)B,
          ∴∠EBA=∠C,
          ∵EF∥BC,
          ∴∠PFA=∠C,
          ∠PFA=∠PBE,
          又∵∠APF=∠EPB,
          ∴△PFA∽△PBE,
          PF
          PB
          =
          PA
          PE

          ∴PA•PB=PE•PF;
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          (3)解法一:作直徑AH,連接BH
          ∴∠ABH=90°,
          ∵BT切⊙O于點(diǎn)B,
          ∴∠EBA=∠AHB
          ∵cos∠EBA=
          1
          3

          ∴cos∠AHB=
          1
          3
          ,
          ∵sin2∠AHB+cos2∠AHB=1,又∠AHB為銳角,
          ∴sin∠AHB=
          2
          2
          3

          在Rt△ABH中,
          ∵sin∠AHB=
          AB
          AH
          ,AB=4
          2

          ∴AH=
          AB
          sin∠AHB
          =6,
          ∴⊙O半徑為3;

          解法二:作直徑BH,連接AH(如圖).
          ∴∠BAH=90°,精英家教網(wǎng)
          ∵BT切⊙O于點(diǎn)B,
          ∴∠EBH=90°,
          ∵cos∠EBA=
          1
          3
          ,
          ∴sin∠ABH=
          1
          3
          =
          AH
          BH

          設(shè)AH=x,則BH=3x,
          在Rt△ABH中,AB=4
          2

          由勾股定理,AB2+AH2=BH2
          ∴(4
          2
          2+x2=(3x)2
          解得x1=2,x2=-2(負(fù)值舍去)
          ∴BH=6,
          ∴⊙O半徑為3.
          點(diǎn)評(píng):本題主要是考查圓的切線(xiàn)性質(zhì),相似三角形的判定定理及解直角三角形.是一道綜合題,解題思路清晰,方法獨(dú)特,容易理解.
          練習(xí)冊(cè)系列答案
          相關(guān)習(xí)題

          科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

          已知,△ABC是邊長(zhǎng)3cm的等邊三角形.動(dòng)點(diǎn)P以1cm/s的速度從點(diǎn)A出發(fā),沿線(xiàn)段AB向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng).
          (1)如圖1,設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t(s),那么t=
           
          (s)時(shí),△PBC是直角三角形;
          (2)如圖2,若另一動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā),沿線(xiàn)段BC向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng),如果動(dòng)點(diǎn)P、Q都以1cm/s的速度同時(shí)出發(fā).設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t(s),那么t為何值時(shí),△PBQ是直角三角形?
          (3)如圖3,若另一動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā),沿射線(xiàn)BC方向運(yùn)動(dòng).連接PQ交AC于D.如果動(dòng)點(diǎn)P、Q都以1cm/s的速度同時(shí)出發(fā).設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t(s),那么t為何值時(shí),△DCQ是等腰三角形?
          (4)如圖4,若另一動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā),沿射線(xiàn)BC方向運(yùn)動(dòng).連接PQ交AC于D,連接PC.如果動(dòng)點(diǎn)P、Q都以1cm/s的速度同時(shí)出發(fā).請(qǐng)你猜想:在點(diǎn)P、Q的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中,△PCD和△QCD的面積有什么關(guān)系?并說(shuō)明理由.
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          科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

          如圖,已知Rt△ABC是⊙O的內(nèi)接三角形,∠BAC=90°,AH⊥BC,垂足為D,過(guò)點(diǎn)B作弦BF交AD于點(diǎn)精英家教網(wǎng)E,交⊙O于點(diǎn)F,且AE=BE.
          (1)求證:
          AB
          =
          AF

          (2)若BE•EF=32,AD=6,求BD的長(zhǎng).

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          科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

          已知,△ABC是等腰直角三角形,∠BAC=90°,BC=2,D是線(xiàn)段BC上一點(diǎn),以AD為邊,在A(yíng)D的右側(cè)作正方形ADEF.直線(xiàn)AE與直線(xiàn)BC交于點(diǎn)G,連接CF.
          (1)如圖1,當(dāng)BD<1時(shí),求證:△ACF≌△ABD;
          (2)如圖2,當(dāng)BD>1時(shí),請(qǐng)?jiān)趫D中作出相應(yīng)的圖形,猜測(cè)線(xiàn)段CF與線(xiàn)段BD的關(guān)系,并說(shuō)明理由;
          (3)連接GF,判斷當(dāng)線(xiàn)段BD為何值時(shí),△GFC是等腰三角形.
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          科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

          已知:△ABC是正三角形,P是三角形內(nèi)一點(diǎn),PA=3,PB=4,PC=5.
          求:∠APB的度數(shù).(初二)

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          科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

          已知:△ABC是等邊三角形,△BDC是等腰三角形,其中∠BDC=120°,過(guò)點(diǎn)D作∠EDF=60°,分別交AB于E,交AC于F,連接EF.
          (1)若BE=CF,求證:①△DEF是等邊三角形;②BE+CF=EF.
          (2)若BE≠CF,即E、F分別是線(xiàn)段AB,AC上任意一點(diǎn),BE+CF=EF還會(huì)成立嗎?請(qǐng)說(shuō)明理由.

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