Question

已知：△ABC是⊙O的內(nèi)接三角形，BT為⊙O的切線(xiàn)，B為切點(diǎn)，P為直線(xiàn)AB上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P做BC的平行線(xiàn)交直線(xiàn)BT于點(diǎn)E，交直線(xiàn)AC于點(diǎn)F．

（1）當(dāng)點(diǎn)P在線(xiàn)段AB上時(shí)（如圖）．求證：PA•PB=PE•PF；
（2）當(dāng)點(diǎn)P為線(xiàn)段BA延長(zhǎng)線(xiàn)上一點(diǎn)時(shí)，第（1）題的結(jié)論還成立嗎？如果成立，請(qǐng)證明；如果不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由；
（3）若AB=4

2

，cos∠EBA=

1

3

，求⊙O的半徑．

Answer 1

分析：（1）解決此問(wèn)的關(guān)鍵是通過(guò)平行和圓的切線(xiàn)性質(zhì)證明△PFA∽△PBE．（2）成立，方法同上．（3）本題主要是通過(guò)銳角三角函數(shù)來(lái)解決問(wèn)題的．

解答：（1）證明：∵BT切⊙O于點(diǎn)B，
∴∠EBA=∠C，
∵EF∥BC，
∴∠AFP=∠C，
∠AFP=∠EBP，
∵∠APF=∠EPB，
∴△PFA∽△PBE，
∴

PA

PE

=

PF

PB

，
∴PA•PB=PE•PF；

（2）解：當(dāng)P為BA延長(zhǎng)線(xiàn)上一點(diǎn)時(shí)，第（1）題的結(jié)論仍成立（如圖）
∵BT切⊙O于點(diǎn)B，
∴∠EBA=∠C，
∵EF∥BC，
∴∠PFA=∠C，
∠PFA=∠PBE，
又∵∠APF=∠EPB，
∴△PFA∽△PBE，
∴

PF

PB

=

PA

PE

，
∴PA•PB=PE•PF；

（3）解法一：作直徑AH，連接BH
∴∠ABH=90°，
∵BT切⊙O于點(diǎn)B，
∴∠EBA=∠AHB
∵cos∠EBA=

1

3

，
∴cos∠AHB=

1

3

，
∵sin²∠AHB+cos²∠AHB=1，又∠AHB為銳角，
∴sin∠AHB=

2 2

3

．
在Rt△ABH中，
∵sin∠AHB=

AB

AH

，AB=4

2

，
∴AH=

AB

sin∠AHB

=6，
∴⊙O半徑為3；

解法二：作直徑BH，連接AH（如圖）．
∴∠BAH=90°，
∵BT切⊙O于點(diǎn)B，
∴∠EBH=90°，
∵cos∠EBA=

1

3

，
∴sin∠ABH=

1

3

=

AH

BH

，
設(shè)AH=x，則BH=3x，
在Rt△ABH中，AB=4

2

，
由勾股定理，AB²+AH²=BH²，
∴（4

2

）²+x²=（3x）²
解得x₁=2，x₂=-2（負(fù)值舍去）
∴BH=6，
∴⊙O半徑為3．

點(diǎn)評(píng)：本題主要是考查圓的切線(xiàn)性質(zhì)，相似三角形的判定定理及解直角三角形．是一道綜合題，解題思路清晰，方法獨(dú)特，容易理解．