Question

【題目】如圖，在△ 中，點(diǎn) ， ， 分別是邊 ， ， 的中點(diǎn)，且 .

（1）求證：四邊形 為矩形；
（2）若 ， ，寫出矩形 的周長.

Answer 1

【答案】
（1）

證明：連接 .

∵ ， 分別是邊 ， 的中點(diǎn)，

∴ ， .

∵點(diǎn) 是邊 的中點(diǎn)，

∴ .

∴

∴四邊形 為平行四邊形.

由點(diǎn) ， 分別是邊 ， 的中點(diǎn)，可得：

.

∵ ，

∴ ，即 .

∴四邊形 為矩形.

（2）

解：由（1）知四邊形ADFE為矩形，

∴ △ABC為RT△，且∠BAC=90°.

∵ F為BC中點(diǎn)，AF=2.

∴BC=4

又∵∠C=30° ，

∴AB=2，

∴AC==2.

∴

【解析】（1）連接 D E，由D、 E 、 F 分別是中點(diǎn)，得到EF∥AD ,AD=EF,根據(jù)一組對邊平行且相等的四邊形為平行四邊形. 再根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)即與已知條件得DE=AF .根據(jù)對角線相等的平行四邊形為矩形.
（2）由（1）知四邊形ADFE為矩形，由矩形性質(zhì)得△ABC為RT△，且∠BAC=90°.根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半由AF=2得BC=4.再由∠C=30° ，得AB=2，由勾股定理得AC==2.從而求出四邊形ADFE的周長。
【考點(diǎn)精析】根據(jù)題目的已知條件，利用三角形中位線定理和平行四邊形的判定的相關(guān)知識可以得到問題的答案，需要掌握連接三角形兩邊中點(diǎn)的線段叫做三角形的中位線；三角形中位線定理：三角形的中位線平行于三角形的第三邊，且等于第三邊的一半；兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形：兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形；一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形；兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形；對角線互相平分的四邊形是平行四邊形．