Question

如圖，在△ABC中，AB＝BC，以AB為直徑的⊙O與AC交于點(diǎn)D，過(guò)D作DF⊥BC， 交AB的延長(zhǎng)線于E，垂足為F．

(1)求證：直線DE是⊙O的切線；
(2)當(dāng)AB＝5，AC＝8時(shí)，求cosE的值．

Answer 1

（1）證OD⊥DE即可。（2）cosE=

試題分析：如圖，在△ABC中，AB＝BC，以AB為直徑的⊙O與AC交于點(diǎn)D，過(guò)D作DF⊥BC， 交AB的延長(zhǎng)線于E，垂足為F．

(1)連結(jié)OD。易知OA=OD=r，且AB＝BC，∴∠OAD=∠ODA=∠C
所以O(shè)D∥CB。所以∠ODE=∠BFE=90°。所以O(shè)D⊥DE，垂足為D。
所以直線DE是⊙O的切線。

(2)當(dāng)AB＝5，AC＝8時(shí)，求cosE的值．
解：連結(jié)BD。由（1）知OD⊥DE，又因?yàn)椤螦DB=90°（直徑所對(duì)圓周角）
所以∠ADO+∠ODB=∠ODB+∠BDE。因?yàn)镺D∥CB，則∠ODB=∠DBO=∠DBF
所以Rt△ADB∽R(shí)t△DFB。則，已知AB=BC，BD⊥AC。所以AD=AC=4.
所以在Rt△ADB中，BD=3.故3×3=5×BF，解得BF=。易知Rt△EDO∽R(shí)t△EFB
則，解得BE=
所以在Rt△EFB中，cosE＝
點(diǎn)評(píng)：本題難度較大，主要考查學(xué)生對(duì)圓的切線問(wèn)題與三角形相似判定與性質(zhì)的掌握。為中考�？碱}型要牢固掌握。