Question

如圖，∠C=90°，點(diǎn)A、B在∠C的兩邊上，CA=30，CB=20，連接AB．點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，以每秒4個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿BC方向運(yùn)動(dòng)，到點(diǎn)C停止．當(dāng)點(diǎn)P與B、C兩點(diǎn)不重合時(shí)，作PD丄BC交AB于D，作DE丄AC于E，F(xiàn)為射線CB上一點(diǎn)，且∠CEF=∠ABC．設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為x（秒）．
（1）用含有x的代數(shù)式表示CE的長(zhǎng)．
（2）求點(diǎn)F與點(diǎn)B重合時(shí)x的值．
（3）當(dāng)點(diǎn)F在線段CB上時(shí)，設(shè)四邊形DECP與四邊形DEFB重疊部分圖形的面積為y（平方單位）．求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式．
（4）當(dāng)x為某個(gè)值時(shí)，沿PD將以D、E、F、B為頂點(diǎn)的四邊形剪開，得到兩個(gè)圖形，用這兩個(gè)圖形拼成不重疊且無縫隙的圖形恰好是三角形．請(qǐng)直接寫出所有符合上述條件的x值．

Answer 1

分析：（1）首先證明△ABC∽△DBP∽△FEC，即可得出比例式進(jìn)而得出表示CE的長(zhǎng)；
（2）根據(jù)當(dāng)點(diǎn)F與點(diǎn)B重合時(shí)，F(xiàn)C=BC，即可得出答案；
（3）首先證明Rt△DOE∽R(shí)t△CEF，得出

DO

DE

=

CE

CF

，即可得出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；
（4）根據(jù)三角形邊長(zhǎng)相等得出答案．

解答：解：（1）∵PD⊥BC，DE⊥AC，且∠C=90°，
∴四邊形DECP為矩形，
∴DE=PC，DP=EC，
又∵∠CEF=∠ABC，
∴△ABC∽△DBP∽△FEC，
∴

FC

EC

=

DP

BP

=

AC

BC

，
∵CA=30，CB=20，BP=4x，
∴

FC

EC

=

DP

4x

=

30

20

，
∴FC=9x，DP=EC=6x．

（2）當(dāng)點(diǎn)F與點(diǎn)B重合時(shí)，F(xiàn)C=BC，
∴FC=BC，
∴9x=20，
解得：x=

20

9

，

（3）當(dāng)點(diǎn)F與點(diǎn)P重合時(shí)，4x+9x=20，
解得x=

20

13

，
∵FP=BC-FC-PB=20-9x-4x=20-13x，
∵DE=PC=BC-PB=20-4x，
∴y=（DE+FP）•DP•0.5=（20-4x+20-13x）•6x×0.5=3x（40-17x）=120x-51x²；
當(dāng)

20

13

＜x≤

20

9

時(shí)，
矩形DECP中DP∥EC，
∴∠DOE=∠FEC，
∴Rt△DOE∽R(shí)t△CEF，
∴

DO

DE

=

CE

CF

，
∴

DO

20-4x

=

6x

9x

，
∴DO=

2

3

（20-4x），
∴y=

1

2

DO•DE=

1

2

×

2

3

（20-4x）（20-4x）=

16

3

（5-x）²；

（4）①如圖③，當(dāng)PD=PF時(shí)，6x=20-13x，解得：x=

20

19

；△B′DE為拼成的三角形；
②如圖④當(dāng)點(diǎn)F與點(diǎn)P重合時(shí)，4x+9x=20，解得：x=

20

13

；△BDC為拼成的三角形；
③如圖⑤，當(dāng)DE=PB，20-4x=4x，解得：x=

5

2

，△DPF為拼成的三角形．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)以及勾股定理和矩形的性質(zhì)與判定，根據(jù)題意得出△ABC∽△DBP∽△FEC以及Rt△DOE∽R(shí)t△CEF是解決問題的關(guān)鍵．