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        1. 【題目】如圖,四邊形ABCD為菱形,∠BCD60°,E為對角線AC上一點,且AEAB,FCE的中點,接DF、BF,BGBFAC交于點G;

          1)若AB2,求EF的長;

          2)求證:CGEFBG

          【答案】11;(2)詳見解析.

          【解析】

          1)連接BDACO,由菱形的性質(zhì)得出∠BAD=∠BCD60°,ACBDOBOD,OAOC,∠OABBAD30°,由直角三角形的性質(zhì)得出OBAB1,OAOB,得出AC2OA2,求出CEACAE22,即可得出答案;

          2)設(shè)AB2a,同(1)得OBABa,OAOBa,得出AC2OA2a,求出CEACAE=(22a,OEAEOA=(2a,得出OFOE+EFa,得出OBOF,證出△BOF是等腰直角三角形,得出∠BFG45°,證明△BFG是等腰直角三角形,得出GFBG,即可得出結(jié)論.

          解:(1)連接BDACO,如圖所示:

          ∵四邊形ABCD是菱形,

          ∴∠BAD=∠BCD60°ACBD,OBOD,OAOC,∠OABBAD30°,

          OBAB1,OAOB,

          AC2OA2,

          AEAB2

          CEACAE22,

          FCE的中點,

          EFCE1;

          2)證明:設(shè)AB2a,

          同(1)得:OBABaOAOBa,

          AC2OA2a,

          AEAB2a,

          CEACAE=(22a,OEAEOA=(2a

          FCE的中點,

          EFCE=(1a,

          OFOE+EF=(2a+1aa,

          OBOF,

          ACBD

          ∴△BOF是等腰直角三角形,

          ∴∠BFG45°,

          BGBF,

          ∴△BFG是等腰直角三角形,

          GFBG,

          GFCGCFCGEF,

          CGEFBG

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          D.

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