Question

已知開口向上的拋物線y=ax²+bx+c與x軸交于A（x₁，0）和B（x₂，0）兩點(diǎn)，x_l和x₂是方程x²+2x-3=0的兩個(gè)根（x₁＜x₂），而且拋物線與y軸交于C點(diǎn)，∠ACB不小于90°
（1）求點(diǎn)A、點(diǎn)B的坐標(biāo)和拋物線的對(duì)稱軸；
（2）求點(diǎn)C的坐標(biāo)（用含a的代數(shù)式表示）；
（3）求系數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）通過(guò)解方程即可求出A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)兩點(diǎn)的坐標(biāo)即可得出拋物線的對(duì)稱軸．
（2）將A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入拋物線的解析式中，即可消去b得出C點(diǎn)的坐標(biāo)．
（3）由于∠ACB不小于90°，可先在∠ACB=90°時(shí)，用射影定理求出a的值，然后根據(jù)拋物線的二次項(xiàng)系數(shù)|a|的值越大開口越小，來(lái)得出a的取值范圍．

解答：解：（1）解方程x²+2x-3=0，得x=-3，x=1
∴A（-3，0），B（1，0）；
∴對(duì)稱軸為x=-1

（2）把x=0代入拋物線，得y=c．
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，c）
∵A、B在拋物線上
∴

9a-3b+c=0 a+b+c=0

消去b，得c=-3a
∴C（0，-3a）

（3）∵拋物線開口向上
∴a＞0
∴OC=|-3a|=3a
又∵∠ACB不小于90°
∴∠ACB≥90°
若∠ACB=90°，△BOC∽△COA
∴OC²=OA•OB=3×1=3
∴OC=

3

∴3a=

3

，a=

3

3

．
∴a的取值范圍是0＜a≤

3

3

．

點(diǎn)評(píng)：考查一元二次方程的解法，函數(shù)圖象交點(diǎn)、二次函數(shù)的性質(zhì)等知識(shí)及綜合應(yīng)用知識(shí)、解決問(wèn)題的能力．