Question

已知AB是半圓O的直徑，點C是半圓O上的動點，點D是線段AB延長線上的動點，在運動過程中，保持CD=OA．
（1）當直線CD與半圓O相切時（如圖①），求∠ODC的度數；
（2）當直線CD與半圓O相交時（如圖②），設另一交點為E，連接AE，若AE∥OC，
①AE與OD的大小有什么關系？為什么？
②求∠ODC的度數．

Answer 1

(1) ∠ODC=45°；(2) AE=OD．理由見解析；∠ODC=36°．

試題分析：（1）連接OC，因為CD是⊙O的切線，得出∠OCD=90°，由OC=CD，得出∠ODC=∠COD，即可求得．
（2）連接OE，
①證明△AOE≌△OCD，即可得AE=OD；
②利用等腰三角形及平行線的性質，可求得∠ODC的度數．
試題解析：（1）如圖①，連接OC，

∵OC=OA，CD=OA，
∴OC=CD，
∴∠ODC=∠COD，
∵CD是⊙O的切線，
∴∠OCD=90°，
∴∠ODC=45°；
（2）如圖②，連接OE．

∵CD=OA，∴CD=OC=OE=OA，
∴∠1=∠2，∠3=∠4．
∵AE∥OC，
∴∠2=∠3．
設∠ODC=∠1=x，則∠2=∠3=∠4=x．
∴∠AOE=∠OCD=180°-2x．
①AE=OD．理由如下：
在△AOE與△OCD中，

∴△AOE≌△OCD（SAS），
∴AE=OD．
②∠6=∠1+∠2=2x．
∵OE=OC，∴∠5=∠6=2x．
∵AE∥OC，
∴∠4+∠5+∠6=180°，即：x+2x+2x=180°，
∴x=36°．
∴∠ODC=36°．
【考點】直線與圓的位置關系；平行線的性質；全等三角形的判定與性質．