Question

（2013•株洲）已知在△ABC中，∠ABC=90°，AB=3，BC=4．點(diǎn)Q是線段AC上的一個動點(diǎn)，過點(diǎn)Q作AC的垂線交線段AB（如圖1）或線段AB的延長線（如圖2）于點(diǎn)P．
（1）當(dāng)點(diǎn)P在線段AB上時，求證：△AQP∽△ABC；
（2）當(dāng)△PQB為等腰三角形時，求AP的長．

Answer 1

分析：（1）由兩對角相等（∠APQ=∠C，∠A=∠A），證明△AQP∽△ABC；
（2）當(dāng)△PQB為等腰三角形時，有兩種情況，需要分類討論．
（I）當(dāng)點(diǎn)P在線段AB上時，如題圖1所示．由三角形相似（△AQP∽△ABC）關(guān)系計(jì)算AP的長；
（II）當(dāng)點(diǎn)P在線段AB的延長線上時，如題圖2所示．利用角之間的關(guān)系，證明點(diǎn)B為線段AP的中點(diǎn)，從而可以求出AP．

解答：（1）證明：∵∠A+∠APQ=90°，∠A+∠C=90°，
∴∠APQ=∠C．
在△APQ與△ABC中，
∵∠APQ=∠C，∠A=∠A，
∴△AQP∽△ABC．

（2）解：在Rt△ABC中，AB=3，BC=4，由勾股定理得：AC=5．
∵∠BPQ為鈍角，
∴當(dāng)△PQB為等腰三角形時，
（I）當(dāng)點(diǎn)P在線段AB上時，如題圖1所示．
∵∠QPB為鈍角，
∴當(dāng)△PQB為等腰三角形時，只可能是PB=PQ，
由（1）可知，△AQP∽△ABC，
∴

PA

AC

=

PQ

BC

，即

3-PB

5

=

PB

4

，解得：PB=

4

3

，
∴AP=AB-PB=3-

4

3

=

5

3

；
（II）當(dāng)點(diǎn)P在線段AB的延長線上時，如題圖2所示．
∵∠QBP為鈍角，
∴當(dāng)△PQB為等腰三角形時，只可能是PB=BQ．
∵BP=BQ，∴∠BQP=∠P，
∵∠BQP+∠AQB=90°，∠A+∠P=90°，
∴∠AQB=∠A，
∴BQ=AB，
∴AB=BP，點(diǎn)B為線段AP中點(diǎn)，
∴AP=2AB=2×3=6．
綜上所述，當(dāng)△PQB為等腰三角形時，AP的長為

5

3

或6．

點(diǎn)評：本題考查相似三角形及分類討論的數(shù)學(xué)思想，難度不大．第（2）問中，當(dāng)△PQB為等腰三角形時，有兩種情況，需要分類討論，避免漏解．