Question

已知△ABC中，點E為邊AB的中點，將△ABC沿CE所在的直線折疊得△AEC，BF∥AC，交直線A′C于F．
（1）若∠ACB=90°，∠A=30°，求證：AC=CF+BF．
（2）若∠ACB為任意角，在圖（2）圖（3）的情況下分別寫出AC、CF、BF之間關(guān)系，并證明圖（3）結(jié)論．
（3）如圖（4），若∠ACB=120°，BF=6，BC=4，則AC的長為

6+2

7

．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得AE=CE，根據(jù)等邊對等角可得∠ACE=∠A，再根據(jù)翻折的性質(zhì)可得∠A′CE=∠ACE，然后求出∠BCF=30°，再根據(jù)兩直線平行，同旁內(nèi)角互補求出∠CBF=90°，然后用BF表示出CF、BC，再表示出AC，即可得證；
（2）圖（2），連接A′B，根據(jù)翻折的性質(zhì)可得A′E=AE，A′C=AC，∠A=∠CA′E，根據(jù)中點定義可得AE=BE，從而得到BE=A′E，然后根據(jù)等邊對等角可得∠EA′B=∠EBA′，根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯角相等可得∠A=∠ABF，然后求出∠FA′B=∠FBA′，根據(jù)等角對等邊可得A′F=BF，再根據(jù)A′C=CF+A′F整理即可得證；圖（3）同理求出A′F=BF，再根據(jù)A′C=CF-A′F整理即可得證；
（3）連接A′B，過點F作FG⊥BC于G，根據(jù)兩直線平行，同旁內(nèi)角互補求出∠CBF=60°，然后解直角三角形求出BG、FG，再求出CG，然后利用勾股定理列式求出CF，再根據(jù)AC=CF+BF代入數(shù)據(jù)計算即可得解．

解答：（1）證明：∵∠ACB=90°，點E為邊AB的中點，
∴AE=CE，
∴∠ACE=∠A=30°，
由翻折的性質(zhì)得，∠A′CE=∠ACE，
∴∠BCF=90°-30°×2=30°，
∵BF∥AC，
∴∠CBF=180°-∠ACB=180°-90°=90°，
∴CF=2BF，BC=BF÷tan30°=BF÷

3

3

=

3

BF，
又∵AC=BC÷tan30°=

3

BF÷

3

3

=3BF，
∴AC=CF+BF；

（2）解：如圖（2），連接A′B，
由翻折的性質(zhì)得，A′E=AE，A′C=AC，∠A=∠CA′E，
∵點E為邊AB的中點，
∴AE=BE，
∴BE=A′E，
∴∠EA′B=∠EBA′，
∵BF∥AC，
∴∠A=∠ABF，
∵∠FA′B=∠EA′B-∠CA′E，
∠FBA′=∠EBA′-∠ABF，
即∠FA′B=∠FBA′，
∴A′F=BF，
∵A′C=CF+A′F，
∴AC=CF+BF；

如圖（3），連接A′B，
由翻折的性質(zhì)得，A′E=AE，A′C=AC，∠A=∠CA′E，
∵點E為邊AB的中點，
∴AE=BE，
∴BE=A′E，
∴∠EA′B=∠EBA′，
∵BF∥AC，
∴∠A+∠ABF=180°，
∵∠CA′E+∠EA′F=180°，
∴∠ABF=∠EA′F，
∵∠FA′B=∠EA′F-∠EA′B，
∠FBA′=∠ABF-∠EBA′，
即∠FA′B=∠FBA′，
∴A′F=BF，
∵A′C=CF-A′F，
∴AC=CF-BF；

（3）解：如圖（4），連接A′B，過點F作FG⊥BC于G，
∵BF∥AC，∠ACB=120°，
∴∠CBF=180°-120°=60°，
∴BG=BF•cos60°=6×

1

2

=3，F(xiàn)G=BF•sin60°=6×

3

2

=3

3

，
∴CG=BC-BG=4-3=1，
在Rt△CGF中，CF=

FG2+CG2

=

(3 3 )2+12

=2

7

，
∴AC=BF+CF=6+2

7

．
故答案為：6+2

7

．

點評：本題考查了翻折變換，平行線的性質(zhì)，等邊對等角的性質(zhì)，解直角三角形，勾股定理的應(yīng)用，作輔助線構(gòu)造出等腰三角形是解題的關(guān)鍵，也是本題的難點．