Question

【題目】綜合與實(shí)踐

問(wèn)題情境

在數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，老師和同學(xué)們以“線段與角的共性”為主題開(kāi)展數(shù)學(xué)活動(dòng)．發(fā)現(xiàn)線段的中點(diǎn)的概念與角的平分線的概念類似，甚至它們?cè)谟?jì)算的方法上也有類似之處，它們之間的題目可以轉(zhuǎn)換，解法可以互相借鑒．如圖1，點(diǎn)是線段上的一點(diǎn)，是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)．

圖1 圖2 圖3

（1）問(wèn)題探究

①若，，求的長(zhǎng)度；（寫(xiě)出計(jì)算過(guò)程）

②若，，則___________；（直接寫(xiě)出結(jié)果）

（2）繼續(xù)探究

“創(chuàng)新”小組的同學(xué)類比想到：如圖2，已知，在角的內(nèi)部作射線，再分別作和的角平分線，．

③若，求的度數(shù)；（寫(xiě)出計(jì)算過(guò)程）

④若，則_____________；（直接寫(xiě)出結(jié)果）

（3）深入探究

“慎密”小組在“創(chuàng)新”小組的基礎(chǔ)上提出：如圖3，若，在角的外部作射線，再分別作和的角平分線，，若，則__________．（直接寫(xiě)出結(jié)果）

Answer 1

【答案】（1）①3；②；（2）③40；④40；（3）

【解析】

（1）①先求出BC，再根據(jù)中點(diǎn)求出AM、BN，即可求出MN的長(zhǎng)；

②利用①的方法求MN即可；

（2）③先求出∠BOC，再利用角平分線的性質(zhì)求出∠AOM，∠BON，即可求出∠MON；

④利用③的方法求出∠MON的度數(shù)；

（3）先求出∠BOC，利用角平分線的性質(zhì)分別求出∠AOM，∠BON，再根據(jù)角度的關(guān)系求出答案即可.

（1）①∵，，

∴BC=AB-AC=4，

∵是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)．

∴， ，

∴MN=AB-AM-BN=6-1-2=3；

②∵，，

∴BC=AB-AC=a-b，

∵是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)．

∴，，

∴MN=AB-AM-BN==，

故答案為：；

（2）③∵，，

∴∠BOC=∠AOB-∠AOC=50，

∵，分別平分和，

∴∠AOM=15，∠BON=25，

∴∠MON=∠AOB-∠AOM-∠BON=40；

④∵，，

∴∠BOC=(80-m)，

∵，分別平分和，

∴∠AOM=，∠BON=（40-m），

∴∠MON=∠AOB-∠AOM-∠BON=40,

故答案為：40；

（3）∵，，

∴∠BOC=∠AOC-∠AOB=(m-n)，

∵和的角平分線分別是，，

∴∠AOM=,∠CON=，

∴∠MON=∠AOC-∠AOM-∠CON=，

故答案為：.