Question

【題目】如圖，矩形ABCD中，AB=6，BC=8，點(diǎn)E是射線CB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，把△DCE沿DE折疊，點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為C′．
（1）若點(diǎn)C′剛好落在對(duì)角線BD上時(shí)，BC′=；
（2）若點(diǎn)C′剛好落在線段AB的垂直平分線上時(shí)，求CE的長(zhǎng)；
（3）若點(diǎn)C′剛好落在線段AD的垂直平分線上時(shí)，求CE的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】
（1）4
（2）

解：如圖2，連接CC′，

∵點(diǎn)C′在AB的垂直平分線上，

∴點(diǎn)C′在DC的垂直平分線上，

∴CC′=DC′=DC，則△DC′C是等邊三角形，

設(shè)CE=x，易得DE=2x，

由勾股定理得：（2x）2﹣x2=62，

解得：x=2 ，

即CE的長(zhǎng)為2 ；

（3）

解：作AD的垂直平分線，交AD于點(diǎn)M，交BC于點(diǎn)N，分兩種情況討論：

①當(dāng)點(diǎn)C′在矩形內(nèi)部時(shí)，如圖3，

∵點(diǎn)C′在AD的垂直平分線上，

∴DM=4，

∵DC′=6，

由勾股定理得：MC′=2 ，∴NC′=6﹣2 ，

設(shè)EC=y，則C′E=y，NE=4﹣y，

故NC′2+NE2=C′E2，

即（6﹣2）2+（4﹣y）2=y2，

解得：y=9﹣3 ，即CE=9﹣3 ；

②當(dāng)點(diǎn)C′在矩形外部時(shí)，如圖4，

∵點(diǎn)C′在AD的垂直平分線上，

∴DM=4，

∵DC′=6，

由勾股定理得：MC′=2 ，∴NC′=6+2 ，

設(shè)EC=z，則C′E=a，NE=z﹣4

故NC′2+NE2=C′E2，

即（6+2 ）2+（z﹣4）2=z2，解得：z=9+3 ，即CE=9+3 ，綜上所述：CE的長(zhǎng)為9±3 ．

【解析】解：如圖1，

∵點(diǎn)B，C′，D在同一直線上，
∴BC′=BD﹣DC′=BD﹣DC=10﹣6=4；
故答案為：4；
（1）根據(jù)點(diǎn)B，C′，D在同一直線上得出BC′=BD﹣DC′=BD﹣DC求出即可；（2）利用垂直平分線的性質(zhì)得出CC′=DC′=DC，則△DC′C是等邊三角形，進(jìn)而利用勾股定理得出答案；（3）利用①當(dāng)點(diǎn)C′在矩形內(nèi)部時(shí)，②當(dāng)點(diǎn)C′在矩形外部時(shí)，分別求出即可．