Question

【題目】如圖1，在四邊形ABCD中，∠DAB被對角線AC平分，且AC2=ABAD．我們稱該四邊形為“可分四邊形”，∠DAB稱為“可分角”．

（1）如圖2，在四邊形ABCD中，∠DAB=60°，AC平分∠DAB，且∠BCD=150°，求證：四邊形ABCD為“可分四邊形”；
（2）如圖3，四邊形ABCD為“可分四邊形”，∠DAB為“可分角”，如果∠DCB=∠DAB，則求∠DAB的度數(shù)；
（3）現(xiàn)有四邊形ABCD為“可分四邊形”，∠DAB為“可分角”，且AC=4，則△DAB的最大面積等于 ．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵∠DAB=60°，AC平分∠DAB，

∴∠DAC=∠CAB=30°，

∴∠D+∠ACD=180°﹣30°=150°，

∵∠BCD=∠ACD+∠ACB=150°，

∴∠D=∠ACB，

∴△ADC∽△ACB．

∴AD：AC=AC：AB，

∴AC2=ABAD，

∴四邊形ABCD為“可分四邊形”；

（2）解：∵AC平分∠DAB，

∴∠DAC=∠BAC，

∵AC2=ABAD，

∴AD：AC=AC：AB，

∴△ADC∽△ACB，

∴∠D=∠ACB，

∵∠DCB=∠DAB，

∴∠DCB=∠DCA+∠ACB=2∠DAC，

∵∠DAC+∠D+∠ACB=180°，

∴∠DAC+2∠DAC=180°，

解得：∠DAC=60°，

∴∠DAB=120°；

（3）8
【解析】（3）∵四邊形ABCD為“可分四邊形”，AC=4，

∴ABAD=AC2=16，

當(dāng)DA⊥DB時，△DAB的最大，最大面積為8，

所以答案是：8．

【考點(diǎn)精析】本題主要考查了勾股定理的概念和相似三角形的判定與性質(zhì)的相關(guān)知識點(diǎn)，需要掌握直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方,即;a2+b2=c2；相似三角形的一切對應(yīng)線段(對應(yīng)高、對應(yīng)中線、對應(yīng)角平分線、外接圓半徑、內(nèi)切圓半徑等）的比等于相似比；相似三角形周長的比等于相似比；相似三角形面積的比等于相似比的平方才能正確解答此題．