Question

【題目】如圖所示的網(wǎng)格中，△ABC的頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，1）

⑴建立平面直角坐標(biāo)系，畫出△ABC關(guān)于y軸對稱的△A1B1C1；并分別寫出點(diǎn)B1的坐標(biāo)是 、點(diǎn)C1的坐標(biāo)是

⑵①借助圖中的網(wǎng)格，請只用直尺(無刻度)在圖中找一點(diǎn)P，使得P到AB、AC的距離相等，且使PA=PB．

②若動點(diǎn)Q在y軸上，使得△QAC的周長最小，則△QAC的最小周長= ．（友情提醒：別忘標(biāo)注宇母）

Answer 1

【答案】（1）見解析，（-4， 2） 、（-2， 4）；（2）①圖見解析，點(diǎn)P即為所求；②最小周長=

【解析】

（1）根據(jù)A點(diǎn)坐標(biāo)，即可建立平面直角坐標(biāo)系，然后畫出△ABC關(guān)于y軸對稱的△A1B1C1，并寫出B1、C1的坐標(biāo)即可；

（2）①取圖中BC的中點(diǎn)D，連接AD，在平面直角坐標(biāo)系中找出點(diǎn)E（2,3），F（3,0），連接EF，交AD于P點(diǎn)，根據(jù)勾股定理可證：AB=AC，即△ABC為等腰三角形，EA= EB，FA= FB，根據(jù)三線合一和垂直平分線的判定即可得出：AD平分∠CAB，EF垂直平分AB，從而判斷點(diǎn)P即為所求；

②根據(jù)AC的長度為定值可得：△QAC的周長最小時AQ＋QC也最小，然后連接A1C交y軸于Q，此時AQ＋QC=A1Q＋QC=A1C，根據(jù)兩點(diǎn)之間，線段最短，可得此時AQ＋QC最小，且最小值即為A1C的長度，然后根據(jù)勾股定理求出A1C的長度，即可求出△QAC的最小周長.

（1）根據(jù)A點(diǎn)坐標(biāo)，建立平面直角坐標(biāo)系，畫出△ABC關(guān)于y軸對稱的△A1B1C1，如下圖所示；由圖可知：點(diǎn)B1的坐標(biāo)是（-4，2）、點(diǎn)C1的坐標(biāo)（-2， 4）.

（2）①如圖所示，取圖中BC的中點(diǎn)D，連接AD，在平面直角坐標(biāo)系中找出點(diǎn)E（2,3），F（3,0），連接EF，交AD于P點(diǎn)

由勾股定理可得：AC=，AB=，EA=，EB=，FA=，FB=

∴AB=AC，即△ABC為等腰三角形，EA= EB，FA= FB

∴AD平分∠CAB，EF垂直平分AB

∴點(diǎn)P到AB、AC的距離相等，且PA=PB

∴點(diǎn)P即為所求.

②∵AC的長度為定值

∴△QAC的周長最小時AQ＋QC也最小

連接A1C交y軸于Q，此時AQ＋QC=A1Q＋QC=A1C，根據(jù)兩點(diǎn)之間，線段最短，可得此時AQ＋QC最小，且最小值即為A1C的長度，如下圖所示

根據(jù)勾股定理：A1C=，

∴此時△QAC的最小周長= AQ＋QC+AC=A1C+AC=