Question

【題目】如圖，直線與軸、軸分別交于、兩點(diǎn)，拋物線經(jīng)過(guò)、兩點(diǎn)，與軸的另一個(gè)交點(diǎn)為，連接．

（1）求拋物線的解析式及點(diǎn)的坐標(biāo)；

（2）點(diǎn) 在拋物線上，連接 ，當(dāng) 時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)；

（3）點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，沿線段由向運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，沿線段由向運(yùn)動(dòng)， 、的運(yùn)動(dòng)速度都是每秒個(gè)單位長(zhǎng)度，當(dāng)點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)時(shí)，、同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，試問(wèn)在坐標(biāo)平面內(nèi)是否存在點(diǎn)，使、運(yùn)動(dòng)過(guò)程中的某一時(shí)刻，以、、、為頂點(diǎn)的四邊形為菱形？若存在，直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）（2），或（3）或或

【解析】

（1）首先求出點(diǎn)A、B的坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式，進(jìn)而求出點(diǎn)C的坐標(biāo)；
（2）滿足條件的點(diǎn)M有兩種情形，需要分類討論：
①當(dāng)BM⊥BC時(shí)，如答圖2-1所示；
②當(dāng)BM與BC關(guān)于y軸對(duì)稱時(shí)，如答圖2-2所示．
（3）△CPQ的三邊均可能成為菱形的對(duì)角線，以此為基礎(chǔ)進(jìn)行分類討論：
①若以CQ為菱形對(duì)角線，如答圖3-1．此時(shí)BQ=t，菱形邊長(zhǎng)=t；
②若以PQ為菱形對(duì)角線，如答圖3-2．此時(shí)BQ=t，菱形邊長(zhǎng)=t；
③若以CP為菱形對(duì)角線，如答圖3-3．此時(shí)BQ=t，菱形邊長(zhǎng)=5-t．

解：直線解析式，

令，得；

令，得．

∴、．

∵點(diǎn)、在拋物線上，

∴，

解得，

∴拋物線解析式為：．

令，

解得：或，

∴．，

設(shè)，

①當(dāng)時(shí)，如答圖所示．

∵，

∴，故點(diǎn)滿足條件．

過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)，則，，

∴．

∵，

∴，

∴直線的解析式為：．

聯(lián)立與，

得：，

解得：，，

∴，，

∴；

②當(dāng)與關(guān)于軸對(duì)稱時(shí)，如答圖所示．

∵，，

∴，

故點(diǎn)滿足條件．

過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)，

則，，

∴．

∵，

∴，

∴直線的解析式為：．

聯(lián)立與得：，

解得：，，

∴，，

∴．

綜上所述，滿足條件的點(diǎn)的坐標(biāo)為：或．

設(shè)，則，，．

假設(shè)存在滿足條件的點(diǎn)，設(shè)菱形的對(duì)角線交于點(diǎn)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為．

①若以為菱形對(duì)角線，如答圖．此時(shí)，菱形邊長(zhǎng)．

∴．

在中，，

解得．

∴．

過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)，

則，，

∴．

∴．

∵點(diǎn)與點(diǎn)橫坐標(biāo)相差個(gè)單位，

∴；

②若以為菱形對(duì)角線，如答圖．此時(shí)，菱形邊長(zhǎng)．

∵，

∴，點(diǎn)為中點(diǎn)，

∴．

∵點(diǎn)與點(diǎn)橫坐標(biāo)相差個(gè)單位，

∴；

③若以為菱形對(duì)角線，如答圖．此時(shí)，菱形邊長(zhǎng)．

在中，，

解得．

∴，．

∴．

綜上所述，存在滿足條件的點(diǎn)，點(diǎn)坐標(biāo)為：或或．