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        1. (2011•自貢)已知拋物線y=ax2+2x+3(a≠0)有如下兩個特點:①無論實數(shù)a怎樣變化,其頂點都在某一條直線l上;②若把頂點的橫坐標減少
          1
          a
          ,縱坐標增大
          1
          a
          分別作為點A的橫、縱坐標;把頂點的橫坐標增加
          1
          a
          ,縱坐標增加
          1
          a
          分別作為點B的橫、縱坐標,則A,B兩點也在拋物線y=ax2+2x+3(a≠0)上.
          (1)求出當實數(shù)a變化時,拋物線y=ax2+2x+3(a≠0)的頂點所在直線l的解析式;
          (2)請找出在直線l上但不是該拋物線頂點的所有點,并說明理由;
          (3)你能根據(jù)特點②的啟示,對一般二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)提出一個猜想嗎?請用數(shù)學語言把你的猜想表達出來,并給予證明.
          分析:(1)取a=1和-1,求出兩點的坐標,用待定系數(shù)法求出直線l的解析式即可;
          (2)求出拋物線y=ax2+2x+3的頂點P坐標為(-
          1
          a
          ,3-
          1
          a
          )
          ,根據(jù)其取值,即可得出不是該拋物線的頂點的坐標;
          (3)猜想:對于拋物線y=ax2+bx+c(a≠0),將其頂點的橫坐標減少
          1
          a
          ,縱坐標增加
          1
          a
          分別作為點A的橫、縱坐標;把頂點的橫坐標增加
          1
          a
          ,縱坐標增加
          1
          a
          分別作為點B的橫、縱坐標,則A,B兩點也在拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)上;求出其橫、縱坐標,把橫坐標代入函數(shù)式,驗證即可;
          解答:解:(1)取a=1,得拋物線y=x2+2x+3,
          其頂點為P1(-1,2).
          取a=-1,得拋物線y=-x2+2x+3,
          其頂點為P2(1,4).
          由題意有P1、P2在直線l上,設直線l的解析式為y=kx+b,則
          -k+b=2
          k+b=4

          解得:
          k=1
          b=3

          ∴直線l的解析式為y=x+3.

          (2)∵拋物線y=ax2+2x+3的頂點P坐標為(-
          1
          a
          ,3-
          1
          a
          )

          顯然P(-
          1
          a
          ,3-
          1
          a
          )
          在直線y=x+3上.
          -
          1
          a
          能取到除0以外的所有實數(shù),
          ∴在y=x+3上僅有一點(0,3)不是該拋物線的頂點.

          (3)猜想:對于拋物線y=ax2+bx+c(a≠0),將其頂點的橫坐標減少
          1
          a
          ,縱坐標增加
          1
          a
          分別作為點A的橫、縱坐標;把頂點的橫坐標增加
          1
          a
          ,縱坐標增加
          1
          a
          分別作為點B的橫、縱坐標,則A,B兩點也在拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)上.證明如下:
          ∵拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)的頂點坐標為(-
          b
          2a
          ,
          4ac-b2
          4a
          ),
          ∴點A的坐標為(-
          b+2
          2a
          4ac-b2+4
          4a
          )
          ,
          點B的坐標為(
          -b+2
          2a
          4ac-b2+4
          4a
          )

          x=-
          b+2
          2a
          時,y=ax2+bx+c=a(
          -b+2
          2a
          )2+b(
          -b+2
          2a
          )+c=
          4ac-b2+4
          4a

          ∴點A(-
          b+2
          2a
          ,
          4ac-b2+4
          4a
          )
          在拋物線y=ax2+bx+c(a≠0),
          同理有B(
          -b+2
          2a
          ,
          4ac-b2+4
          4a
          )
          也在拋物線上,故結論成立.
          點評:本題主要考查了二次函數(shù)的解析式及用待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式,熟記二次函數(shù)的頂點坐標公式及其性質(zhì),是正確解答的關鍵.
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          x2
          x1
          +
          x1
          x2
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