Question

【題目】拋物線與軸交于兩點，與軸交于點．已知點，點．

（1）當時，求點的坐標；

（2）直線與拋物線交于兩點，拋物線的對稱軸為直線

①求，所滿足的數(shù)量關系式；

②當OP=OA時，求線段的長度．

Answer 1

【答案】（1）（，0）；（2）①；②或．

【解析】

（1）利用待定系數(shù)法，將，點，代入函數(shù)解析式，求得，從而求得函數(shù)解析式及對稱軸，然后根據(jù)數(shù)軸上的對稱性求得點B的坐標；

（2）①由拋物線的對稱軸求得，求得，然后將點，點代入函數(shù)解析式求得p與a的數(shù)量關系；

②由OP=OA時，分情況討論當P（0，1）或（0，-1），求得p的值，從而確定二次函數(shù)和一次函數(shù)解析式，然后求其交點坐標，利用勾股定理求PN的長度．

解：（1）將點，點代入函數(shù)解析式，得

當時，可得，解得：

∴此時拋物線解析式為：，拋物線對稱軸為

設B點坐標為（x，0） ，則此時，解得：

∴B點坐標為（，0）

（2）①將點，點代入函數(shù)解析式，得

有題意可知：，則

∴，解得

②當OP=OA時，P（0，1）或（0，-1）

當P（0，1）時，-p=1，即p=-1，則，解得

∴此時拋物線解析式為：

又∵直線與拋物線交于兩點

∴一次函數(shù)解析式為：

由此，解得或

∴此時P（0,1）），N（5，-4）

∴PN=

當P（0，-1）時，-p=-1，即p=1，則，解得

∴此時拋物線解析式為：

又∵直線與拋物線交于兩點

∴一次函數(shù)解析式為：

由此，解得或

∴此時P（0,-1）），N（-1，0）

∴PN=

∴綜上所述，PN的長度為或．