Question

如圖所示，已知△ABC中，AB=AC，以AB為直徑作⊙O交BC于D，交AC于E，過D作DF⊥AC于F
（1）求證：DF是⊙O的切線；
（2）連接DE，且AB=4，若∠FDC=30°，試求△CDE的面積．

Answer 1

（1）證明：連接OD，
∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∵OB=OD，
∴∠B=∠ODB，
∴∠C=∠ODB，
∴OD∥AC，
∵DF⊥AC，
∴OD⊥DF，
則DF為圓O的切線；

（2）連接DE，AD，
∵∠FDC=30°，∠DFC=90°，
∴∠C=60°，
∵AB=AC，
∴△ABC為等邊三角形，
∵∠CED為圓內(nèi)接四邊形ABDE的外角，
∴∠CED=∠B=60°，
∴△DEC為等邊三角形，
∵AB為圓O的直徑，
∴∠ADB=90°，即AD⊥BC，
∴D為BC的中點，即DC=

1

2

BC=

1

2

AB=2，
∴EC=DC=2，DF=

3

，
則S_△DEC=

1

2

×2×

3

=

3

．