Question

【題目】（模型建立）

如圖1，等腰直角三角形中，，，直線經(jīng)過點(diǎn)，過作于點(diǎn)，過作于點(diǎn).

求證：；

（模型應(yīng)用）

①已知直線：與軸交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，將直線繞著點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)至直線，如圖2，求直線的函數(shù)表達(dá)式；

②如圖3，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，作軸于點(diǎn)，作軸于點(diǎn)，是線段上的一個動點(diǎn)，點(diǎn)是直線上的動點(diǎn)且在第一象限內(nèi).問點(diǎn)、、能否構(gòu)成以點(diǎn)為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，若能，請直接寫出此時點(diǎn)的坐標(biāo)，若不能，請說明理由.

Answer 1

【答案】【模型建立】詳見解析；【模型應(yīng)用】①；②Q點(diǎn)坐標(biāo)為（4，2）或（，）.

.

【解析】

模型建立：根據(jù)△ABC為等腰直角三角形，AD⊥ED，BE⊥ED，可判定△ACD≌△CBE；
模型應(yīng)用：①過點(diǎn)B作BC⊥AB，交l2于C，過C作CD⊥y軸于D，根據(jù)△CBD≌△BAO，得出BD=AO=2，CD=OB=3，求得C（-3，5），最后運(yùn)用待定系數(shù)法求直線l2的函數(shù)表達(dá)式；
②分兩種情況考慮：如圖3，∠AQP=90°，AQ=PQ，設(shè)Q點(diǎn)坐標(biāo)為（a，2a-6），利用三角形全等得到a+6-（2a-6）=8，得a=4，易得Q點(diǎn)坐標(biāo)；如圖4，同理求出Q的坐標(biāo).

模型建立：證明：∵，

∴.

∵,∠ACB=90°.

∴.

又∵，

∴.

在與中，

，

∴.

模型應(yīng)用：

如圖2，過點(diǎn)作交于，過作軸于，

∵，

∴為等腰直角三角形.

由（1）可知：，

∴，.

∵

∴令，得，∴，

令，得，∴.

∴，，

∴.

∴.

設(shè)的解析式為

∴

∴

的解析式：.

分以下兩種情況：

如圖3，當(dāng)∠AQP=90°時，AQ=PQ，過點(diǎn)Q作EF⊥y軸，分別交y軸和直線BC于點(diǎn)E、F．

在△AQE和△QPF中，由（1）可得，△AQE≌△QPF（AAS），
AE=QF，設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(a,2a-6),即6-（2a-6）=8-a，解得a=4.

此時點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（4，2）.
如圖4：當(dāng)∠AQP=90°時，AQ=PQ時，過點(diǎn)Q作EF⊥y軸，分別交y軸和直線BC于點(diǎn)E、F，設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(a,2a-6),則AE=2a-12，FQ=8-a．

,

在△AQE和△QPF中，同理可得△AQE≌△QPF（AAS），
AE=QF，即2a-12=8-a，解得a=.

此時點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（，）.

綜上所述：A、P、Q可以構(gòu)成以點(diǎn)Q為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為 （4，2）或（，）.