Question

在平面直角坐標(biāo)系中，動點(diǎn)到兩點(diǎn)，的距離之和等于，設(shè)點(diǎn)的軌跡為曲線，直線過點(diǎn)且與曲線交于，兩點(diǎn)．
（1）求曲線的軌跡方程；
（2）是否存在△面積的最大值，若存在，求出△的面積；若不存在，說明理由.

Answer 1

（1）（2）的最大值為．

解析試題分析：解.（Ⅰ）由橢圓定義可知，點(diǎn)的軌跡C是以，為焦點(diǎn)，長半軸長為 的橢圓．   3分
故曲線的方程為．                5分
（Ⅱ）存在△面積的最大值.                   6分
因為直線過點(diǎn)，可設(shè)直線的方程為 或（舍）．
則
整理得 ．            7分
由．
設(shè)．
解得 ，  ．
則 ．
因為
．       10分
設(shè)，，．
則在區(qū)間上為增函數(shù)．
所以．
所以，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，即．
所以的最大值為．
考點(diǎn)：直線與橢圓的位置關(guān)系
點(diǎn)評：解決的關(guān)鍵是根據(jù)直線與橢圓的聯(lián)立方程組，結(jié)合韋達(dá)定理來表示三角形的面積，進(jìn)而結(jié)合函數(shù)的最值得到，屬于中檔題。