Question

【題目】設(shè)函數(shù)f（x）=x（lnx﹣ax）（a∈R）在區(qū)間（0，2）上有兩個極值點，則a的取值范圍是（ ）
A.
B.
C.
D.

Answer 1

【答案】D
【解析】解：方法一：f（x）=x（lnx﹣ax），求導(dǎo)f′（x）=lnx﹣2ax+1，

由題意，關(guān)于x的方程a= 在區(qū)間（0，+∞）由兩個不相等的實根，

令h（x）= ，h′（x）=﹣ ，

當(dāng)x∈（0，1）時，h（x）單調(diào)遞增，當(dāng)x∈（1，+∞）單調(diào)遞減，

當(dāng)x→+∞時，h（x）→0，

由圖象可知：函數(shù)f（x）=x（lnx﹣ax），在（0，2）上由兩個極值，

只需 ＜a＜ ，

故D．

方法二：f（x）=x（lnx﹣ax），求導(dǎo)f′（x）=lnx﹣2ax+1，

由題意，關(guān)于x的方程2ax=lnx+1在區(qū)間（0，2）由兩個不相等的實根，

則y=2ax與y=lnx+1有兩個交點，

由直線y=lnx+1，求導(dǎo)y′= ，

設(shè)切點（x0，y0）， = ，解得：x0=1，

∴切線的斜率k=1，

則2a=1，a= ，

則當(dāng)x=2，則直線斜率k= ，

則a= ，

∴a的取值范圍（ ， ），

故選D．

方法一：求導(dǎo)f′（x）=lnx﹣2ax+1，由關(guān)于x的方程a= 在區(qū)間（0，+∞）由兩個不相等的實根，構(gòu)造輔助函數(shù)，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性即可求得a取值范圍；

方法二：由題意，關(guān)于x的方程2ax=lnx+1在區(qū)間（0，2）由兩個不相等的實根，則y=2ax與y=lnx+1有兩個交點，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，即可求得a的取值范圍．