Question

【題目】設(shè)函數(shù) ．
（Ⅰ）求曲線 在點(diǎn) 處的切線方程；
（Ⅱ）若 對(duì) 恒成立，求實(shí)數(shù) 的取值范圍；
（Ⅲ）求整數(shù) 的值，使函數(shù) 在區(qū)間 上有零點(diǎn)．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ） ，

∴ ，∴所求切線方程為 ，即

（Ⅱ）∵ ，對(duì) 恒成立，∴ ，

設(shè) ，令 ，得 ，令 得 ，

∴ 在 上遞減，在 上遞增，

∴ ，∴

（Ⅲ）令 得 ，當(dāng) 時(shí)， ，

∴ 的零點(diǎn)在 上，

令 得 或 ，∴ 在 上遞增，又 在 上遞減，

∴方程 僅有一解 ，且 ，

∵ ，

∴由零點(diǎn)存在的條件可得 ，∴

【解析】(1)首先對(duì)原函數(shù)求導(dǎo)，即可求出在點(diǎn) ( 1 , e ) 處的切線斜率，再代入點(diǎn)的坐標(biāo)即可求出切線的方程。(2)通過構(gòu)造函數(shù)并結(jié)合導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性即可求解。(3)結(jié)合導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性判斷出F ( x ) 在( 0 , + ∞ ) 上遞增，且F ( 1 ) >0，F(xiàn)() < 0，可知 F ( x ) 的零點(diǎn)屬于區(qū)間( , 1 )。