Question

如圖1所示，已知OPQ是半徑為1，圓心角為θ的扇形，A是扇形弧PQ上的動點，AB∥OQ，OP與AB交于點B，AC∥OP，OQ與AC交于點C．記∠AOP=α．
（1）若θ=

π

2

，如圖1，當(dāng)角α取何值時，能使矩形ABOC的面積最大；
（2）若θ=

π

3

，如圖2，當(dāng)角α取何值時，能使平行四邊形ABOC的面積最大．并求出最大面積．

Answer 1

分析：（1）若θ=

π

2

，由題意可得 AB=sinα，BO=cosα，求得矩形ABOC的面積S=AB•BO=

1

2

sin2α，由此求得角α取何值時，能使矩形ABOC的面積最大．
（2）若θ=

π

3

，作AH⊥OP，H為垂足，則AH=sinα，OH=cosα，BH=

3

3

sinα，可得OB=cosα-

3

3

sinα．化簡平行四邊形ABOC的面積S′=OB•AH，等于

3

3

sin（2α+

π

6

）-

3

6

．由0＜α＜

π

3

，可得當(dāng) 2α+

π

6

=

π

2

時，S′取得最大值為

3

6

．

解答：解：（1）若θ=

π

2

，由題意可得 AB=sinα，BO=cosα，故矩形ABOC的面積S=AB•BO=

1

2

sin2α，
故當(dāng)α=

π

4

時，能使矩形ABOC的面積最大．
（2）若θ=

π

3

，由題意可得0＜α＜

π

3

，作AH⊥OP，H為垂足，則AH=sinα，OH=cosα，tan∠ABH=

AH

BH

=tan

π

3

=

3

，
故BH=

3

3

sinα，∴OB=cosα-

3

3

sinα．
故平行四邊形ABOC的面積S′=OB•AH=（cosα-

3

3

sinα ）sinα=sinαcosα-

3

3

sin²α 
=

1

2

sin2α-

3

3

×

1-cos2α

2

=

1

2

sin2α-

3

6

cos2α-

3

6

=

3

3

sin（2α+

π

6

）-

3

6

．
由于0＜α＜

π

3

，故

π

6

＜2α+

π

6

＜

5π

6

，故當(dāng) 2α+

π

6

=

π

2

時，S′取得最大值為

3

6

．

點評：本題主要考查兩角和差的正弦、余弦公式的應(yīng)用，二倍角公式，正弦函數(shù)的定義域和值域，屬于中檔題．