Question

如圖，已知直線與拋物線和圓都相切，F是C₁的焦點．
（1）求m與a的值；
（2）設A是C₁上的一動點，以A為切點作拋物線C₁的切線l，直線l交y軸于點B，以FA，FB為鄰邊作平行四邊形FAMB，證明：點M在一條定直線上．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用直線與圓相切，可得圓心到直線l₁：y=2x+m的距離等于半徑，從而可求m的值；設l₁與拋物線的相切點為A（x，y），求得切點坐標，代入直線方程，即可求得a的值；
（2）設，由（1）知以A為切線l的方程為，從而可得切線l交y軸的B點坐標，利用四邊形FAMB是以FA，FB為鄰邊的平行四邊形，可得，由此可證結論．
解答：（1）解：由已知，圓的圓心（0，-1），
圓心到直線l₁：y=2x+m的距離，解得m=-6（m=4舍去），…（3分）
設l₁與拋物線的相切點為A（x，y），得2ax=2，∴，
代入直線方程得：，∴，
所以m=-6，…（6分）
（2）證明：由（1）知拋物線C₁方程為，焦點，
設，由（1）知以A為切線l的方程為，…（8分）
令x=0，得切線l交y軸的B點坐標為（0，），
所以=（x₁，-），=（0，--），…（10分）
∵四邊形FAMB是以FA，FB為鄰邊的平行四邊形，
∴=（x₁，-3）…（13分）
因為F是定點，所以點M在定直線上．     …（15分）
點評：本題考查直線與圓，直線與拋物線的位置關系，考查向量知識的運用，解題的關鍵是確定切線方程，屬于中檔題．