Question

已知數列{a_n}滿足a₁=2，an+1=2(1+

1

n

)2an，n∈N*．
（1）求數列{a_n}的通項公式；（2）設bn=

an

n

，求

n

i=1

bi；（3）當n≥2時，求證：

n

i=1

ci＜

17

24

．

Answer 1

分析：（1）由已知，得

an+1

(n+1)2

=2•

an

n2

，由此可以求出a_n=n²2ⁿ．
（2）bn=

an

n

=n2n．

n

i=1

bi=1•2¹+2•2²+3•2³++n•2ⁿ，再用錯位相減法可求出

n

i=1

bi=2（1-2ⁿ）+n•2ⁿ⁺¹=（n-1）2ⁿ⁺¹+2．
（3）當n≥2時，cn=

n

an

=

1

n2n

=

n-1

n(n-1)2n

＜

n+1

n(n-1)2n

=

1

(n-1)2n-1

-

1

n2n

．由此入手可證出

n

i=1

ci＜

17

24

．

解答：解：（1）由已知，得

an+1

(n+1)2

=2•

an

n2

，∴{

an

n2

}是公比為2的等比數列，首項為a₁=2．
∴

an

n2

=2•2n-1，a_n=n²2ⁿ．（6分）
（2）bn=

an

n

=n2n．

n

i=1

bi=1•2¹+2•2²+3•2³++n•2ⁿ，①
2

n

i=1

bi=1•2²+2•2³++（n-1）•2ⁿ+n•2ⁿ⁺¹，②
①-②，得-

n

i=1

bi=2¹+2²+2³++2ⁿ-n•2ⁿ⁺¹，
∴

n

i=1

bi=2（1-2ⁿ）+n•2ⁿ⁺¹=（n-1）2ⁿ⁺¹+2．（12分）
（3）當n≥2時，cn=

n

an

=

1

n2n

=

n-1

n(n-1)2n

＜

n+1

n(n-1)2n

=

1

(n-1)2n-1

-

1

n2n

．
∴

n

i=1

ci=c1+c2++c3+

n

i=4

ci=

1

2

+

1

8

+

1

24

+

n

i=4

(

1

2i-1(i-1)

-

1

2ii

)
=

1

2

+

1

8

+

1

24

+

1

3•23

-

1

n2n

＜

17

24

．（18分）

點評：本題問題敘述簡捷，形式優(yōu)美，體現數學的形式美、內在美．
第（1）問，也可采用迭代法來完成，理科生還可使用數學歸納法來實施．
第（2）問，仍作為壓軸問題，旨在強調數列中的一些重要方法．
第（3）問，若將結論減弱為

n

i=1

ci＜

3

4

．則所提供的解法中，只須保留原來的兩項，或者也可以直接將

1

n•2n

，從第3項起，放大為

1

2n

．