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        1. 精英家教網 > 高中數學 > 題目詳情
          已知數列{an}滿足a1=2,an+1=2(1+
          1
          n
          )2an
          ,n∈N*.
          (1)求數列{an}的通項公式;(2)設bn=
          an
          n
          ,求
          n
          i=1
          bi
          ;(3)當n≥2時,求證:
          n
          i=1
          ci
          17
          24
          分析:(1)由已知,得
          an+1
          (n+1)2
          =2•
          an
          n2
          ,由此可以求出an=n22n
          (2)bn=
          an
          n
          =n2n
          n
          i=1
          bi
          =1•21+2•22+3•23++n•2n,再用錯位相減法可求出
          n
          i=1
          bi
          =2(1-2n)+n•2n+1=(n-1)2n+1+2.
          (3)當n≥2時,cn=
          n
          an
          =
          1
          n2n
          =
          n-1
          n(n-1)2n
          n+1
          n(n-1)2n
          =
          1
          (n-1)2n-1
          -
          1
          n2n
          .由此入手可證出
          n
          i=1
          ci
          17
          24
          解答:解:(1)由已知,得
          an+1
          (n+1)2
          =2•
          an
          n2
          ,∴{
          an
          n2
          }
          是公比為2的等比數列,首項為a1=2.
          an
          n2
          =2•2n-1
          ,an=n22n.(6分)
          (2)bn=
          an
          n
          =n2n
          n
          i=1
          bi
          =1•21+2•22+3•23++n•2n,①
          2
          n
          i=1
          bi
          =1•22+2•23++(n-1)•2n+n•2n+1,②
          ①-②,得-
          n
          i=1
          bi
          =21+22+23++2n-n•2n+1,
          n
          i=1
          bi
          =2(1-2n)+n•2n+1=(n-1)2n+1+2.(12分)
          (3)當n≥2時,cn=
          n
          an
          =
          1
          n2n
          =
          n-1
          n(n-1)2n
          n+1
          n(n-1)2n
          =
          1
          (n-1)2n-1
          -
          1
          n2n

          n
          i=1
          ci
          =c1+c2++c3+
          n
          i=4
          ci
          =
          1
          2
          +
          1
          8
          +
          1
          24
          +
          n
          i=4
          (
          1
          2i-1(i-1)
          -
          1
          2ii
          )

          =
          1
          2
          +
          1
          8
          +
          1
          24
          +
          1
          3•23
          -
          1
          n2n
          17
          24
          .(18分)
          點評:本題問題敘述簡捷,形式優(yōu)美,體現數學的形式美、內在美.
          第(1)問,也可采用迭代法來完成,理科生還可使用數學歸納法來實施.
          第(2)問,仍作為壓軸問題,旨在強調數列中的一些重要方法.
          第(3)問,若將結論減弱為
          n
          i=1
          ci
          3
          4
          .則所提供的解法中,只須保留原來的兩項,或者也可以直接將
          1
          n•2n
          ,從第3項起,放大為
          1
          2n
          練習冊系列答案
          相關習題

          科目:高中數學 來源: 題型:

          已知數列{an}滿足:a1=1且an+1=
          3+4an
          12-4an
          , n∈N*

          (1)若數列{bn}滿足:bn=
          1
          an-
          1
          2
          (n∈N*)
          ,試證明數列bn-1是等比數列;
          (2)求數列{anbn}的前n項和Sn;
          (3)數列{an-bn}是否存在最大項,如果存在求出,若不存在說明理由.

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          科目:高中數學 來源: 題型:

          已知數列{an}滿足
          1
          2
          a1+
          1
          22
          a2+
          1
          23
          a3+…+
          1
          2n
          an=2n+1
          則{an}的通項公式
           

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          科目:高中數學 來源: 題型:

          已知數列{an}滿足:a1=
          3
          2
          ,且an=
          3nan-1
          2an-1+n-1
          (n≥2,n∈N*).
          (1)求數列{an}的通項公式;
          (2)證明:對于一切正整數n,不等式a1•a2•…an<2•n!

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          科目:高中數學 來源: 題型:

          已知數列{an}滿足an+1=|an-1|(n∈N*
          (1)若a1=
          54
          ,求an;
          (2)若a1=a∈(k,k+1),(k∈N*),求{an}的前3k項的和S3k(用k,a表示)

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          科目:高中數學 來源: 題型:

          (2012•北京模擬)已知數列{an}滿足an+1=an+2,且a1=1,那么它的通項公式an等于
          2n-1
          2n-1

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