設(shè)二次函數(shù)

的圖像過原點,

,

的導(dǎo)函數(shù)為

,且

,


(1)求函數(shù)

,

的解析式;
(2)求

的極小值;
(3)是否存在實常數(shù)

和

,使得

和

若存在,求出

和

的值;若不存在,說明理由.
(1)

,

;(2)

的極小值為

;(3)存在這樣的實常數(shù)

和

,且


試題分析:(1)由二次函數(shù)

的圖像過原點可求

,從而

,由

可解得

,從而得

;由


可解得

從而得

;(2)由題可知

,通過導(dǎo)函數(shù)可得

的單調(diào)性,從而可得

的極小值為

;(3)根據(jù)題意可知,只須證明

和

的函數(shù)圖像在切線的兩側(cè)即可,故求出函數(shù)

在公共點(1,1)的切線方程

,只須驗證:

,從而找到實數(shù)存在這樣的實常數(shù)

和

,且


.
試題解析:(1)由已知得

,
則

,從而

,∴


,

。
由

得

,解得


。 4分
(2)

,
求導(dǎo)數(shù)得

. 8分


在(0,1)單調(diào)遞減,在(1,+

)單調(diào)遞增,從而

的極小值為

.
(3)因

與

有一個公共點(1,1),而函數(shù)

在點(1,1)的切線方程為

.
下面驗證

都成立即可.
由

,得

,知

恒成立.
設(shè)

,即

,
求導(dǎo)數(shù)得

,

在(0,1)上單調(diào)遞增,在

上單調(diào)遞減,所以

的最大值為

,所以

恒成立.
故存在這樣的實常數(shù)

和

,且


. 13分
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題
科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:解答題
已知函數(shù)

.
(1)當(dāng)

時,求曲線

在點

處的切線方程;
(2)當(dāng)

,且

,求函數(shù)

的單調(diào)區(qū)間.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:解答題
已知函數(shù)

,曲線

在點

處的切線是

:
(Ⅰ)求

,

的值;
(Ⅱ)若

在

上單調(diào)遞增,求

的取值范圍
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:解答題
已知函數(shù)
f(
x)=
ax2-(2
a+1)
x+2ln
x,
a∈R.
(1)若曲線
y=
f(
x)在
x=1和
x=3處的切線互相平行,求
a的值;
(2)求
f(
x)的單調(diào)區(qū)間.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:填空題
過點(0,-2)向曲線

作切線,則切線方程為
。
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:填空題
在曲線y=-

+2x-1的所有切線中,斜率為正整數(shù)的切線有_______條.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:填空題
已知函數(shù)

(

為常數(shù),

為自然對數(shù)的底數(shù))的圖象在點

處的切線與該函數(shù)的圖象恰好有三個公共點,則實數(shù)

的取值范圍是
.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:填空題
已知函數(shù)

的圖像在點

處的切線方程是

,則

________.
查看答案和解析>>