Question

四棱錐中，底面為平行四邊形，側(cè)面底面．已知，，，．

（Ⅰ）證明；
（Ⅱ）求直線與平面所成角的正弦值.

Answer 1

（Ⅰ）見解析.（Ⅱ）

解析試題分析：（Ⅰ）通過作，垂足為，連結(jié)，根據(jù)側(cè)面底面，得底面．應(yīng)用三垂線定理，得．（Ⅱ）立體幾何中的角的計(jì)算，一般有兩種思路，一是直接法，通過“一作，二證，三計(jì)算”等步驟，計(jì)算角；二是“間接法”，如利用圖形與其投影的面積關(guān)系，確定角.本題首先設(shè)到平面的距離為，根據(jù)，求得．進(jìn)一步確定，將角用反正弦函數(shù)表示.
試題解析：（Ⅰ）作，垂足為，連結(jié)，由側(cè)面底面，得底面．
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/4f/4/25pxs.png" style="vertical-align:middle;" />，所以，
又，故為等腰直角三角形，，
由三垂線定理，得．

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，依題設(shè)，
故，由，，，得
，．
的面積．
連結(jié)，得的面積
設(shè)到平面的距離為，由于，得
，
解得．
設(shè)與平面所成角為，則．
所以，直線與平面所成的角為
考點(diǎn)：垂直關(guān)系、平行關(guān)系，角的計(jì)算.