如圖,AC 是圓 O 的直徑,點(diǎn) B 在圓 O 上,∠BAC=30°,BM⊥AC交 AC 于點(diǎn) M,EA⊥平面ABC,F(xiàn)C//EA,AC=4,EA=3,F(xiàn)C=1.
(I)證明:EM⊥BF;
(II)求平面 BEF 與平面ABC 所成銳二面角的余弦值.
(Ⅰ)詳見解析;(Ⅱ).
解析試題分析:(Ⅰ)先以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系,并以此確定
、
、
、
四點(diǎn)的坐標(biāo),通過(guò)驗(yàn)證
來(lái)達(dá)到證明
的目的;(Ⅱ)求出平面
與平面
各自的法向量,利用空間向量法求出平面
與平面
所成銳二面角的余弦值.
試題解析:(1),
.
如圖,以為坐標(biāo)原點(diǎn),垂直于
、
、
所在的直線為
軸建立空間直角坐標(biāo)系.由已知條件得
,
,
,
,
,
.
由,
得,
.
(2)由(1)知,
.
設(shè)平面的法向量為
,
由,得
,
令得
,
,
,[來(lái)源:學(xué)+科+網(wǎng)]
由已知平面
,所以取面
的法向量為
,
設(shè)平面與平面
所成的銳二面角為
,
則,
平面與平面
所成的銳二面角的余弦值為
.
考點(diǎn):直線與直線的垂直、二面角、空間向量法
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
如圖,AB是圓的直徑,PA垂直圓所在的平面,C是圓周上的一點(diǎn).
(1)求證:平面PAC⊥平面PBC;(6分)
(2)若AB=2,AC=1,PA=1,求二面角CPBA的余弦值.(6分)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
如圖,幾何體中,四邊形
為菱形,
,
,面
∥面
,
、
、
都垂直于面
,且
,
為
的中點(diǎn),
為
的中點(diǎn).
(1)求幾何體的體積;
(2)求證:為等腰直角三角形;
(3)求二面角的大小.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
已知中,
,
,
為
的中點(diǎn),
分別在線段
上,且
交
于
,把
沿
折起,如下圖所示,
(1)求證:平面
;
(2)當(dāng)二面角為直二面角時(shí),是否存在點(diǎn)
,使得直線
與平面
所成的角為
,若存在求
的長(zhǎng),若不存在說(shuō)明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
如圖(1),等腰直角三角形的底邊
,點(diǎn)
在線段
上,
于
,現(xiàn)將
沿
折起到
的位置(如圖(2)).
(Ⅰ)求證:;
(Ⅱ)若,直線
與平面
所成的角為
,求
長(zhǎng).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
如圖,在直三棱柱(即側(cè)棱與底面垂直的三棱柱)中,
(I)若為
的中點(diǎn),求證:平面
平面
;
(II)若為線段
上一點(diǎn),且二面角
的大小為
,試確定
的位置.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
如圖,在長(zhǎng)方體中,已知上下兩底面為正方形,且邊長(zhǎng)均為1;側(cè)棱
,
為
中點(diǎn),
為
中點(diǎn),
為
上一個(gè)動(dòng)點(diǎn).
(Ⅰ)確定點(diǎn)的位置,使得
;
(Ⅱ)當(dāng)時(shí),求二面角
的平面角余弦值.
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