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        1. 如圖,AB是圓的直徑,PA垂直圓所在的平面,C是圓周上的一點(diǎn).

          (1)求證:平面PAC⊥平面PBC;(6分)
          (2)若AB=2,AC=1,PA=1,求二面角C­PB­A的余弦值.(6分)

          (1)答案見詳解;(2)

          解析試題分析:(1)通過線面垂直即BC⊥平面PAC,可得平面PAC⊥平面PBC;(2)建立空間坐標(biāo)系,求出兩平面的法向量求解或利用線面垂直性質(zhì),做出二面角平面角,再求解.
          試題解析:(1)證明 由AB是圓的直徑,得AC⊥BC,
          由PA⊥平面ABC,BC?平面ABC,得PA⊥BC.
          又PA∩AC=A,PA?平面PAC,AC?平面PAC,
          所以BC⊥平面PAC.
          因?yàn)锽C?平面PBC,
          所以平面PBC⊥平面PAC.(5分)
          (2)解 方法一 過C作CM∥AP,則CM⊥平面ABC.
          如圖,以點(diǎn)C為坐標(biāo)原點(diǎn),分別以直線CB、CA、CM為x軸,y軸,z軸建立空間直角坐標(biāo)系.
          因?yàn)锳B=2,AC=1,所以BC=.
          因?yàn)镻A=1,所以A(0,1,0),B(,0,0),P(0,1,1).
          故C=(,0,0),C=(0,1,1).
          設(shè)平面BCP的法向量為n1=(x,y,z),則所以
          不妨令y=1,則n1=(0,1,-1).
          因?yàn)锳=(0,0,1),A=(,-1,0),
          設(shè)平面ABP的法向量為n2=(x,y,z),

          所以
          不妨令x=1,則n2=(1,,0).
          于是cos〈n1,n2〉=.
          所以由題意可知二面角C­PB­A的余弦值為.(10分)
          方法二

          過C作CM⊥AB于M,因?yàn)镻A⊥平面ABC,CM?平面ABC,
          所以PA⊥CM,又PA∩AB=A,故CM⊥平面PAB.
          過M作MN⊥PB于N,連接NC,
          由三垂線定理得CN⊥PB,
          所以∠CNM為二面角C­PB­A的平面角.
          在Rt△ABC中,由AB=2,AC=1,
          得BC=,CM=,BM=,
          在R t△PAB中,由AB=2,PA=1,得PB=.
          因?yàn)镽t△BNM∽Rt△BAP,
          所以=,故MN=.
          又在Rt△CNM中,CN=,故cos∠CNM=.
          所以二面角C­PB­A的余弦值為.(10分)
          考點(diǎn):1、面面垂直;2、二面角.

          練習(xí)冊系列答案
          相關(guān)習(xí)題

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          右圖是一個直三棱柱(以為底面)被一平面所截得到的幾何體,截面為.已知,,,,

          (1)設(shè)點(diǎn)的中點(diǎn),證明:平面
          (2)求二面角的大;

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          如圖,已知矩形中,,將矩形沿對角線折起,使移到點(diǎn),且在平面上的射影恰好在上.

          (1)求證:
          (2)求證:平面平面;
          (3)求二面角的余弦值.

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          如圖,在四棱錐中,為平行四邊形,且,的中點(diǎn),

          (Ⅰ)求證://;
          (Ⅱ)求三棱錐的高.

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          如圖,在直三棱柱中,,點(diǎn)D是AB的中點(diǎn),

          求證:(1); (2)平面

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          如圖所示,平面,四邊形是矩形,,M,N分別是AB,PC的中點(diǎn),

          (1)求平面和平面所成二面角的大小,
          (2)求證:平面
          (3)當(dāng)的長度變化時,求異面直線PC與AD所成角的可能范圍.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

          如圖示,在底面為直角梯形的四棱椎P   ABCD中,AD//BC,ÐABC= 900, PA^平面ABCD,PA= 4,AD= 2,AB=2,BC = 6.

          (1)求證:BD^平面PAC ;
          (2)求二面角A—PC—D的正切值;
          (3)求點(diǎn)D到平面PBC的距離.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

          如圖,正三棱柱中,點(diǎn)的中點(diǎn).

          (Ⅰ)求證: 平面;
          (Ⅱ)求證:平面.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

          如圖,AC 是圓 O 的直徑,點(diǎn) B 在圓 O 上,∠BAC=30°,BM⊥AC交 AC 于點(diǎn) M,EA⊥平面ABC,F(xiàn)C//EA,AC=4,EA=3,F(xiàn)C=1.

          (I)證明:EM⊥BF;
          (II)求平面 BEF 與平面ABC 所成銳二面角的余弦值.

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          同步練習(xí)冊答案