Question

【題目】設(shè)為數(shù)列的前項(xiàng)和，對任意的，都有，數(shù)列滿足， .

（1）求證：數(shù)列是等比數(shù)列，并求的通項(xiàng)公式；

（2）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

（3）求數(shù)列的前項(xiàng)和.

Answer 1

【答案】(1) 證明見解析， ；（2）；（3）.

【解析】試題分析: （1）由可得，兩式相減可得數(shù)列是等比數(shù)列，進(jìn)而可求求的通項(xiàng)公式；（2），∴，即.

∴是首項(xiàng)為，公差為1的等差數(shù)列，從而可得數(shù)列的通項(xiàng)公式；（3）有（1）、（2）可得，利用錯(cuò)位相減法可得結(jié)果.

試題解析:（1）當(dāng)時(shí)， ，解得，

當(dāng)時(shí)， ，即，

∴.

∴數(shù)列是首項(xiàng)為1，公比為的等比數(shù)列，即.

（2）.

∵，∴，即.

∴是首項(xiàng)為，公差為1的等差數(shù)列.

∴，即.

（3），則.

所以，①

則，②

②-①得，

故.

【易錯(cuò)點(diǎn)晴】本題主要考查等差數(shù)列、等比數(shù)列、“錯(cuò)位相減法”求數(shù)列的和，以及不等式恒成立問題，屬于難題. “錯(cuò)位相減法”求數(shù)列的和是重點(diǎn)也是難點(diǎn)，利用“錯(cuò)位相減法”求數(shù)列的和應(yīng)注意以下幾點(diǎn)：①掌握運(yùn)用“錯(cuò)位相減法”求數(shù)列的和的條件（一個(gè)等差數(shù)列與一個(gè)等比數(shù)列的積）；②相減時(shí)注意最后一項(xiàng) 的符號(hào)；③求和時(shí)注意項(xiàng)數(shù)別出錯(cuò)；④最后結(jié)果一定不能忘記等式兩邊同時(shí)除以.