Question

（2013•東城區(qū)二模）已知函數(shù)f（x）=sinx（

3

cosx-sinx）．
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）當(dāng)x∈（0，

2π

3

）時，求f（x）的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用三角函數(shù)的恒等變換化簡函數(shù)f（x）的解析式為sin（2x+

π

6

）-

1

2

，由此求得f（x）的最小正周期．
（Ⅱ） 因?yàn)?0＜x＜

2π

3

，根據(jù)正弦函數(shù)的定義域和值域，求得f（x）的取值范圍．

解答：解：（Ⅰ）因?yàn)楹瘮?shù)f（x）=sinx（

3

cosx-sinx）=

3

sinxcosx-sin²x
=

3

2

sin2x-

1-cos2x

2

=

3

2

sin2x+

1

2

cos2x-

1

2

=sin（2x+

π

6

）-

1

2

，
所以，f（x）的最小正周期 T=

2π

2

=π．
（Ⅱ） 因?yàn)?0＜x＜

2π

3

，所以，

π

6

＜2x+

π

6

＜

3π

2

，
∴-1＜sin（2x+

π

6

）≤1，-

3

2

＜sin（2x+

π

6

）-

1

2

≤

1

2

，
所以，f（x）的取值范圍是 （-

3

2

，

1

2

]．

點(diǎn)評：本題主要考查三角函數(shù)的恒等變換及化簡求值，三角函數(shù)的周期性和求法，正弦函數(shù)的定義域和值域，屬于中檔題．