Question

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在等式（）的兩邊求導(dǎo)，得：，
由求導(dǎo)法則，得，化簡得等式：。
（1）利用上題的想法（或其他方法），結(jié)合等式 （，正整數(shù)），證明：。
（2）對于正整數(shù)，求證：
（i）； （ii）； （iii）。

Answer 1

（1）證明見解析。
（2）證明見解析。

證明：（1）在等式兩邊對求導(dǎo)得

移項(xiàng)得                （*）
（2）（i）在（*）式中，令，整理得 
所以   
（ii）由（1）知
兩邊對求導(dǎo)，得
在上式中，令

即，
亦即         （1） 
又由（i）知         （2）
由（1）+（2）得
（iii）將等式兩邊在上對積分
由微積分基本定理，得
所以