Question

【題目】如圖，在三棱柱ABCA1B1C1中, CC1⊥平面ABC, AC⊥BC, AB1的中點為D，B1C∩BC1＝E. 求證：

（1）DE∥平面AA1C1C；

（2）AC⊥平面BCC1B1.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析.

【解析】

試題分析：（1）由三角形中位線定理得，由線面平行的判定定理可得 平面；（2）CC1⊥平面ABC可得AC⊥CC1，由已知AC⊥BC，從而由線面垂直的判定定理可得結(jié)果.

試題解析：(1) 由題意知，E為B1C的中點，又D為AB1的中點，因此DE∥AC.

因為DE平面AA1C1C，AC平面AA1C1C，所以DE∥平面AA1C1C.

(2) CC1⊥平面ABC.

因為CC1⊥平面ABC，所以AC⊥CC1.

因為AC⊥BC，CC1平面BCC1B1，BC平面BCC1B1，

BC∩CC1＝C，

所以AC⊥平面BCC1B1.

【方法點晴】本題主要考查線面平行的判定定理、線面垂直的判定定理，屬于中檔題.證明線面平行的常用方法：①利用線面平行的判定定理，使用這個定理的關(guān)鍵是設(shè)法在平面內(nèi)找到一條與已知直線平行的直線，可利用幾何體的特征，合理利用中位線定理、線面平行的性質(zhì)或者構(gòu)造平行四邊形、尋找比例式證明兩直線平行.②利用面面平行的性質(zhì)，即兩平面平行，在其中一平面內(nèi)的直線平行于另一平面. 本題（1）是就是利用方法①證明的.