Question

【題目】如圖，圓臺(tái)的軸截面為等腰梯形，，，，圓臺(tái)的側(cè)面積為.若點(diǎn)C，D分別為圓，上的動(dòng)點(diǎn)且點(diǎn)C，D在平面的同側(cè).

（1）求證：；

（2）若，則當(dāng)三棱錐的體積取最大值時(shí)，求多面體的體積.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2）

【解析】

（1）由圓臺(tái)側(cè)面積求出上下底半徑，計(jì)算圓臺(tái)的高，計(jì)算，由直角三角形性質(zhì)得；

（2）三棱錐的高就是，表示出三棱錐的體積，求出最大值時(shí)，，多面體分為三棱錐和四棱錐，分別計(jì)算體積后相加即得．

解：（1）設(shè)，的半徑分別為，，

因?yàn)閳A臺(tái)的側(cè)面積為，

所以，可得.

因此，在等腰梯形中，，，.

如圖，連接線段，，，

在圓臺(tái)中，平面，平面，

所以.

又，所以在中，.

在中，，故，即.

（2）由題意可知，三棱錐的體積為，

又在直角三角形中，，

所以當(dāng)且僅當(dāng)，

即點(diǎn)D為弧的中點(diǎn)時(shí)，有最大值.

過點(diǎn)C作交于點(diǎn)M，

因?yàn)?/span>平面，平面，

所以，平面，平面，，

所以平面.

又，則點(diǎn)C到平面的距離，

所以四棱錐的體積.

綜上，當(dāng)三棱錐體積最大值時(shí)，

多面體