Question

對于定義域為D的函數(shù)y=f（x），若同時滿足：①f（x）在D內(nèi)單調(diào)遞增或單調(diào)遞減；②存在區(qū)間[a，b]⊆D，使f（x）在[a，b]上的值域為[a，b]；那么把y=f（x）（x∈D）叫做閉函數(shù)．
（Ⅰ）請你舉出一個閉函數(shù)的例子，并寫出它的一個符合條件②的區(qū)間[a，b]；
（Ⅱ）求閉函數(shù)y=-x³符合條件②的區(qū)間[a，b]；
（Ⅲ）判斷函數(shù)是否為閉函數(shù)？并說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)知，f（x）=x滿足條件．
（2）根據(jù)y=-x³的單調(diào)性，假設(shè)區(qū)間為[a，b]滿足，求a、b的值．
（3）取一特殊值x₁=1，x₂=10，代入驗證不滿足條件即可證明不是閉函數(shù)．
解答：解：（Ⅰ）如f（x）=x，[a，b]=[1，2]．
（Ⅱ）由題意，y=-x³在[a，b]上遞減，則，
解得．
所以，所求的區(qū)間為[-1，1]．
（Ⅲ）取x₁=1，x₂=10，則，
即f（x）不是（0，+∞）上的減函數(shù)．
取，，
即f（x）不是（0，+∞）上的增函數(shù)．
所以，函數(shù)在定義域內(nèi)既不單調(diào)遞增也不單調(diào)遞減，從而該函數(shù)不是閉函數(shù)．
點(diǎn)評：本題主要考查通過給定的新定義來解題．這種題重要考查學(xué)生的接受新內(nèi)容的能力．