Question

【題目】已知函數(shù)（）

（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；

（2）記是的導(dǎo)數(shù)，若當(dāng)，時(shí)，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）答案不唯一，具體見解析；（2）.

【解析】

（1）求出，然后分、、三種情況討論即可；

（2）當(dāng)時(shí)，，設(shè)，則，設(shè)，則，顯然在區(qū)間上單調(diào)遞增，且，然后分、兩種情況討論即可得到答案.

（1）由，得.

①當(dāng)時(shí)，若，則；若，則，

所以恒成立，即時(shí)，單調(diào)遞增.

②當(dāng)時(shí)，若，則，單調(diào)遞增；

若，則，單調(diào)遞減.

若，則，單調(diào)遞增.

③當(dāng)時(shí)，若，則，單調(diào)遞增；

若，則，單調(diào)遞減；

若，則，單調(diào)遞增.

（2）當(dāng)時(shí)，.

設(shè)，則.

設(shè)，則，

顯然在區(qū)間上單調(diào)遞增，且.

①當(dāng)時(shí)，因?yàn)?/span>在區(qū)間上恒成立，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增.

又因?yàn)?/span>，所以當(dāng)時(shí)，，即在區(qū)間上恒成立，從而在區(qū)間上單調(diào)遞增.

又因?yàn)?/span>，所以當(dāng)時(shí)，，即，這時(shí)，符合題意.

②當(dāng)時(shí)，因?yàn)?/span>，所以，使得在區(qū)間上恒成立，這時(shí)在區(qū)間上單調(diào)遞減.

又因?yàn)?/span>，所以當(dāng)時(shí)，，

即在區(qū)間上恒成立，從而在區(qū)間上單調(diào)遞減.

又因?yàn)?/span>，所以當(dāng)時(shí)，，即，這時(shí)，不符合題意.

綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍為.