Question

【題目】已知函數(shù).

（1）若對恒成立，求的取值范圍；

（2）證明：不等式對于正整數(shù)恒成立，其中為自然對數(shù)的底數(shù).

Answer 1

【答案】（1）（2）見解析

【解析】試題分析：（1）第（1）問，方法一，構(gòu)造函數(shù)，再分析f(x)的最大值和零的關(guān)系得到a的取值范圍.方法二，分離參數(shù)得到恒成立，即a大于F(x)的最大值. (2)第（2）問，先要把證明的不等式轉(zhuǎn)化，再由第（1）問，恒成立，得到恒成立，把數(shù)列的通項(xiàng)放縮，對數(shù)列求和，再化簡證明不等式.

試題解析：

（1）法一：記，

則，，

①當(dāng)時，

∵，∴，∴在上單減，

又，∴，即在上單減，

此時，，即,所以a≥1.

②當(dāng)時，

考慮時，，∴在上單增，

又，∴，即在上單増，,不滿足題意.

綜上所述，.

法二：當(dāng)時，等價于，

，記，則，

∴在上單減，∴，

∴，即在上單減，，故.

（2）由（1）知：取，當(dāng)時，恒成立，

即恒成立，即恒成立，

即對于恒成立，

由此，，，

于是

，

故.