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        1. 已知數(shù)列{an}滿足a1=
          3
          5
          an+1=
          3an
          2an+1
          ,n∈N*
          (1)求證:數(shù)列{
          1
          an
          -1}
          為等比數(shù)列;
          (2)是否存在互不相等的正整數(shù)m,s,t,使m,s,t成等差數(shù)列,且am-1,as-1,at-1成等比數(shù)列?如果存在,求出所有符合條件的m,s,t;如果不存在,請說明理由.
          分析:(1)由an+1=
          3an
          2an+1
          ,變形可得
          1
          an+1
          -1=
          1
          3
          (
          1
          an
          -1)
          ,從而可證明數(shù)列{
          1
          an
          -1}
          為等比數(shù)列;
          (2)假設存在互不相等的正整數(shù)m,s,t滿足條件,則有
          m+t=2s
          (as-1)2=(am-1)(at-1).
          ,代入條件,利用基本不等式,即可得出結論.
          解答:(1)證明:因為an+1=
          3an
          2an+1
          ,
          所以
          1
          an+1
          =
          1
          3an
          +
          2
          3
          .…(1分)
          所以
          1
          an+1
          -1=
          1
          3
          (
          1
          an
          -1)
          .…(3分)
          因為a1=
          3
          5
          ,則
          1
          a1
          -1=
          2
          3
          .…(4分)
          所以數(shù)列{
          1
          an
          -1}
          是首項為
          2
          3
          ,公比為
          1
          3
          的等比數(shù)列.…(5分)
          (2)解:由(1)知,
          1
          an
          -1=
          2
          3
          ×(
          1
          3
          )n-1=
          2
          3n
          ,
          所以an=
          3n
          3n+2
          .…(7分)
          假設存在互不相等的正整數(shù)m,s,t滿足條件,
          則有
          m+t=2s
          (as-1)2=(am-1)(at-1).
          …(9分)
          an=
          3n
          3n+2
          (as-1)2=(am-1)(at-1),
          (
          3s
          3s+2
          -1)2=(
          3m
          3m+2
          -1)(
          3t
          3t+2
          -1)
          .…(10分)
          即3m+t+2×3m+2×3t=32s+4×3s.…(11分)
          因為m+t=2s,所以3m+3t=2×3s.…(12分)
          因為3m+3t≥2
          3m+t
          =2×3s
          ,當且僅當m=t時等號成立,
          這與m,s,t互不相等矛盾.…(13分)
          所以不存在互不相等的正整數(shù)m,s,t滿足條件.…(14分)
          點評:本題考查數(shù)列遞推式,考查等比數(shù)列的證明,考查存在性問題,考查學生分析解決問題的能力,假設存在,引出矛盾是關鍵.
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          相關習題

          科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

          已知數(shù)列{an}滿足:a1=1且an+1=
          3+4an
          12-4an
          , n∈N*

          (1)若數(shù)列{bn}滿足:bn=
          1
          an-
          1
          2
          (n∈N*)
          ,試證明數(shù)列bn-1是等比數(shù)列;
          (2)求數(shù)列{anbn}的前n項和Sn
          (3)數(shù)列{an-bn}是否存在最大項,如果存在求出,若不存在說明理由.

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          科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

          已知數(shù)列{an}滿足
          1
          2
          a1+
          1
          22
          a2+
          1
          23
          a3+…+
          1
          2n
          an=2n+1
          則{an}的通項公式
           

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          科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

          已知數(shù)列{an}滿足:a1=
          3
          2
          ,且an=
          3nan-1
          2an-1+n-1
          (n≥2,n∈N*).
          (1)求數(shù)列{an}的通項公式;
          (2)證明:對于一切正整數(shù)n,不等式a1•a2•…an<2•n!

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          科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

          已知數(shù)列{an}滿足an+1=|an-1|(n∈N*
          (1)若a1=
          54
          ,求an;
          (2)若a1=a∈(k,k+1),(k∈N*),求{an}的前3k項的和S3k(用k,a表示)

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          科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

          (2012•北京模擬)已知數(shù)列{an}滿足an+1=an+2,且a1=1,那么它的通項公式an等于
          2n-1
          2n-1

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