Question

某種樹(shù)苗栽種時(shí)高度為A(A為常數(shù))米，栽種n年后的高度記為f(n)．經(jīng)研究發(fā)現(xiàn)f(n)近似地滿足f(n)＝，其中，a，b為常數(shù)，n∈N，f(0)＝A．已知栽種3年后該樹(shù)木的高度為栽種時(shí)高度的3倍．
（1）栽種多少年后，該樹(shù)木的高度是栽種時(shí)高度的8倍；
（2）該樹(shù)木在栽種后哪一年的增長(zhǎng)高度最大．

Answer 1

（1）栽種９年后，該樹(shù)木的高度是栽種時(shí)高度的8倍;（2）第5年的增長(zhǎng)高度最大．       

試題分析：（1）由題中所給條件，運(yùn)用待定系數(shù)法不難求出，進(jìn)而確定出函數(shù)，其中．由，運(yùn)用解方程的方法即可求出，問(wèn)題得解; （2）由前面（1）中已求得，可表示出第n年的增長(zhǎng)高度為 ，這是一個(gè)含有較多字母的式子，這也中本題的一個(gè)難點(diǎn)，運(yùn)用代數(shù)化簡(jiǎn)和整體思想可得： ，觀察此式特征能用基本不等式的方法進(jìn)行求它的最值，即：，成立的條件為 當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，即可求出．
試題解析： （1）由題意知．
所以解得．                4分
所以，其中．
令，得，解得，
所以．                           
所以栽種９年后，該樹(shù)木的高度是栽種時(shí)高度的8倍．  6分
（2）由（1）知．
第n年的增長(zhǎng)高度為．  9分
所以 
                   12分
．
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，此時(shí)．
所以該樹(shù)木栽種后第5年的增長(zhǎng)高度最大．           14分