Question

（本小題滿分12分）已知斜率為1的直線與雙曲線相交于B、D兩點(diǎn)，且BD的中點(diǎn)為M（1，3）。
（1）求雙曲線C的離心率；
（2）若雙曲線C的右焦點(diǎn)坐標(biāo)為（3，0），則以雙曲線的焦點(diǎn)為焦點(diǎn)，過(guò)直線上一點(diǎn)M作橢圓，要使所作橢圓的長(zhǎng)軸最短，點(diǎn)M應(yīng)在何處？并求出此時(shí)的橢圓方程。

Answer 1

（本小題滿分12分）
解：（Ⅰ）由題設(shè)知：的方程為，代入的方程，并化簡(jiǎn)得：
  (＊)…………………………2分
設(shè)，則， ……4分
由為的中點(diǎn)知，故
即.故，　　∴  驗(yàn)證可知方程(＊)的△>0………6分
（Ⅱ）雙曲線的左、右焦點(diǎn)為、，點(diǎn)關(guān)于直線①
的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為，直線的方程為②  ………8分
解方程組①②得：交點(diǎn)         ……………………………9分
此時(shí)最小，所求橢圓的長(zhǎng)軸，
∴        …………………………………………………………11分
又， ∴，故所求橢圓的方程為  ………………12分

略