Question

（本題滿分14分）已知函數(shù). 

（1）是否存在實(shí)數(shù)使函數(shù)f(x)為奇函數(shù)？證明你的結(jié)論；

（2）用單調(diào)性定義證明:不論取任何實(shí)數(shù)，函數(shù)f(x)在其定義域上都是增函數(shù);

（3）若函數(shù)f(x)為奇函數(shù)，解不等式.

 

Answer 1

【答案】

（1）當(dāng)時(shí)，函數(shù)f(x)為奇函數(shù)；（2）證明：見解析。

（3） 

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)f(x)為奇函數(shù)，可確定f(-x)+f(x)=0恒成立.從而可得a值.

（2）利用單調(diào)性的定義證明分三個(gè)步驟：一取值，二作差變形判斷差值符號(hào)，三確定單調(diào)性.

（3）利用單調(diào)性與奇偶性把不等式轉(zhuǎn)化為進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為,

然后利用單調(diào)性轉(zhuǎn)化為求解.

（1）     函數(shù)f(x)的定義域?yàn)? 即 …1分

假設(shè)存在實(shí)數(shù)使函數(shù)f(x)為奇函數(shù)，

由得  解得    …2分，

當(dāng)時(shí)，函數(shù)f(x)為奇函數(shù)……………4分

（2）證明：任取，且

            …7分

  ， 

又

即  

不論取何值，函數(shù)f(x)在其定義域上都是增函數(shù). …………9分

（3）由得 

函數(shù)f(x)為奇函數(shù)

由（2）已證得函數(shù)在Ｒ上是增函數(shù)

 

 

不等式的解集為…………14分

考點(diǎn)：函數(shù)的奇偶性，單調(diào)性的證明，解抽象函數(shù)的不等式，一元二次不等式.

點(diǎn)評：判定函數(shù)的奇偶性先確定定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對稱；利用單調(diào)性證明證明時(shí)要注意三個(gè)步驟一取值，作差變形，得出結(jié)論.變形的目的是判斷差值符號(hào).解抽象不等式要注意利用單調(diào)性脫掉法則符號(hào)f轉(zhuǎn)化為普通不等式求解.