Question

已知拋物線的方程為，直線的方程為，點關(guān)于直線的對稱點在拋物線上．
（1）求拋物線的方程；
（2）已知，求過點及拋物線與軸兩個交點的圓的方程；
（3）已知，點是拋物線的焦點，是拋物線上的動點，求的最小值及此時點的坐標(biāo)；

Answer 1

（1）；（2）；（3）詳見解析.

試題分析：（1）求出點關(guān)于直線的對稱點的坐標(biāo)，然后將對稱點的坐標(biāo)代入拋物線的方程求出的值，從而確定拋物線的方程；（2）先確定拋物線與軸的兩個交點、，結(jié)合圖形確定為直角三角形，并確定相應(yīng)的斜邊，以此求出圓心和半徑，最終確定圓的方程；（3）結(jié)合圖象與拋物線的定義確定點、、三點共線求出的最小值，并確定的直線方程，將直線方程與拋物線方程聯(lián)立求出點的坐標(biāo).
（1）設(shè)點關(guān)于直線的對稱點為坐標(biāo)為，
則解得，
把點代入，解得，
所以拋物線的方程為；
（2）令得，
設(shè)拋物線與軸的兩個交點從左到右分別為、，則C、，
顯然是直角三角形，所以為所求圓的直徑，由此可得圓心坐標(biāo)為，
圓的半徑，
故所求圓的方程為；
（3）是拋物線的焦點，拋物線的頂點為，
拋物線的準(zhǔn)線為，
過點作準(zhǔn)線的垂線，垂足為，由拋物線的定義知,
，當(dāng)且僅當(dāng)、、三點共線時“”成立，
即當(dāng)點為過點所作的拋物線準(zhǔn)線的垂線與拋物線的交點時，取最小值，

，這時點的坐標(biāo)為；