Question

如圖，三棱柱的三視圖，主視圖和側(cè)視圖是全等的矩形，俯視圖是等腰直角三角形，點M是A₁B₁的中點。


（I）求證：B₁C//平面AC₁M；
（II）求證：平面AC₁M⊥平面AA₁B₁B．

Answer 1

（1）證明見解析；（2）證明見解析.

解析試題分析：（1）由三視圖還原為空間幾何體的實際形狀時，要從三視圖綜合考慮，根據(jù)三視圖的規(guī)則，空間幾何體的可見輪廓線在三視圖中為實線，不可見輪廓線在三視圖中為虛線.在還原空間幾何體的實際形狀時，一般以正視圖和俯視圖為主，結(jié)合側(cè)視圖進(jìn)行綜合考慮；（2）證明線面平行常用方法：一是利用線面平行的判定定理，二是利用面面平行的性質(zhì)定理，三是利用面面平行的性質(zhì)；（3）證明兩個平面垂直，首先考慮直線與平面垂直，也可以簡單記為“證面面垂直，找線面垂直”，是化歸思想的體現(xiàn)，這種思想方法與空間中的平行關(guān)系的證明類似，掌握化歸與轉(zhuǎn)化思想方法是解決這類題的關(guān)鍵.
試題解析：


證明：（I）由三視圖可知三棱柱為直三棱柱，底面是等腰直角三角形且，
連結(jié)A₁C，設(shè)。連結(jié)MO，
由題意可知A₁O=CO，A₁M=B₁M，所以 MO//B₁C．       
又平面;平面，
所以平面                                     6分
（II），又為的中點，  
平面，平面    
又平面  所以平面AC₁M⊥平面AA₁B₁B         12分
考點：(1)直線與平面平行的判定；（2）平面與平面垂直的判定.