Question

已知函數(shù)，．
(Ⅰ)求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；
(Ⅱ)設(shè)點為函數(shù)的圖象上任意一點，若曲線在點處的切線的斜率恒大于，
求的取值范圍．

Answer 1

(Ⅰ)見解析；(Ⅱ) .

試題分析：(Ⅰ)先求出函數(shù)的定義域為，再對函數(shù)求導(dǎo)得.對分， ，，四種情況進行討論，求得每種情況下使得的的取值范圍，求得的的取值集合即是函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間；(Ⅱ)將代入函數(shù)的導(dǎo)數(shù)得，根據(jù)化簡整理構(gòu)造新函數(shù)，將問題轉(zhuǎn)化為：的恒成立問題，分，，三種情況結(jié)合二次函數(shù)的單調(diào)性進行討論.
試題解析：(Ⅰ)依題意，的定義域為，
. 2分
①當時，
令，解得，所以函數(shù)在上是增函數(shù)；
②當時，
令，解得或，所以函數(shù)在和上是增函數(shù)；
③當時，
在上恒成立，所以函數(shù)在是增函數(shù)；
④當時，
令，解得或，所以函數(shù)在和上是增函數(shù). 6分
綜上所述，
①當時，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是；
②當時，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是和；
③當時，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是；
④當時，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是和. 7分
(Ⅱ)因為函數(shù)在點處的切線的斜率大于，
所以當時，恒成立.
即當時，恒成立.
設(shè)，函數(shù)的對稱軸方程為.10分
（ⅰ）當時，在時恒成立.
(ⅱ) 當時，即時，在時，函數(shù)成立，則方程 的判別式
，解得.
(ⅲ)當時，即時，在上為增函數(shù)，的取值范圍是，則在
時，函數(shù)不恒成立. 13分
綜上所述，時，在函數(shù)的圖象上任意一點處的切線的斜率恒大于. 14分