已知函數(shù).
(1)當時,求函數(shù)
的單調(diào)區(qū)間;
(2)若函數(shù)在
處取得極值,對
,
恒成立,求實數(shù)
的取值范圍;
(3)當時,求證:
.
(1)在
上遞減,在
上遞增;(2)
;(3)證明詳見解析.
解析試題分析:(1)先求函數(shù)的導函數(shù)
,然后分別求解不等式
、
,即可求出函數(shù)的單調(diào)增、減區(qū)間,注意函數(shù)的定義域;(2)先根據(jù)函數(shù)在
取得極值,得到
,進而求出
的值,進而采用分離參數(shù)法得到
,該不等式恒成立,進一步轉(zhuǎn)化為
,利用導數(shù)與最值的關(guān)系求出函數(shù)
的最小值即可;(3)先將要證明的問題進行等價轉(zhuǎn)化
,進而構(gòu)造函數(shù)
,轉(zhuǎn)化為證明該函數(shù)在
單調(diào)遞增,根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性與導數(shù)的關(guān)系進行證明即可.
試題解析:(1)當時,
得
,
得
∴在
上遞減,在
上遞增
(2)∵函數(shù)在
處取得極值,∴
∴
令,可得
在
上遞減,在
上遞增
∴,即
(3)證明:
令,則只要證明
在
上單調(diào)遞增
又∵
顯然函數(shù)在
上單調(diào)遞增
∴,即
∴在
上單調(diào)遞增,即
∴當時,有
.
考點:1.函數(shù)的單調(diào)性與導數(shù);2.函數(shù)的極值與導數(shù);3.函數(shù)的最值與導數(shù);4.分離參數(shù)法;5.構(gòu)造函數(shù)法.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
已知函數(shù)
(Ⅰ)當時,求曲線
在點
處的切線方程;
(Ⅱ)當時,若
在區(qū)間
上的最小值為
,其中
是自然對數(shù)的底數(shù),
求實數(shù)的取值范圍;
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
已知函數(shù).
(1)若在
處取得極值,求
的單調(diào)遞增區(qū)間;
(2)若在區(qū)間
內(nèi)有極大值和極小值,求實數(shù)
的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
設是函數(shù)
的一個極值點.
(1)求與
的關(guān)系式(用
表示
),并求
的單調(diào)區(qū)間;
(2)設,
在區(qū)間[0,4]上是增函數(shù).若存在
使得
成立,求
的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
已知函數(shù),
,
為自然對數(shù)的底數(shù).
(I)求函數(shù)的極值;
(2)若方程有兩個不同的實數(shù)根,試求實數(shù)
的取值范圍;
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
設函數(shù),其中
是
的導函數(shù).
,
(1)求的表達式;
(2)若恒成立,求實數(shù)
的取值范圍;
(3)設,比較
與
的大小,并加以證明.
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