Question

（本小題12分）橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為、，直線經(jīng)過點(diǎn)與橢圓交于兩點(diǎn)。
（1）求的周長(zhǎng)；
（2）若的傾斜角為，求的面積。

Answer 1

（1），的周長(zhǎng)為。
（2）。

本題考查三角形周長(zhǎng)的求法和三角形面積的計(jì)算，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意挖掘題設(shè)中的隱含條件，靈活運(yùn)用橢圓的性質(zhì)，注意橢圓定義、韋達(dá)定理在解題中的合理運(yùn)用．
（1）由橢圓的定義，得AF₁+AF₂=2a，BF₁+BF₂=2a，又AF₁+BF₁=AB，所以，△ABF₂的周長(zhǎng)=AB+AF₂+BF₂=4a．再由a²=4，能導(dǎo)出△ABF₂的周長(zhǎng)．
（2）由F₁（-1，0），AB的傾斜角為 ，知直線AB的方程為y=x+1．由
消去x，得7y²-6y-9=0，設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），借助韋達(dá)定理能夠求出△ABF₂的面積．
解：（1）由橢圓的定義，得，， ----------2分
又，所以的周長(zhǎng)為。--------4分
又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823232256897426.png" style="vertical-align:middle;" />，所以，故的周長(zhǎng)為。-----------5分
（2）由條件，得，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823232257053391.png" style="vertical-align:middle;" />的傾斜角為，所以斜率為，
故直線的方程為。-----------------6分
由消去，得， ------------------8分
設(shè)，解得， -------------10分
所以。------------------12分