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          在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中，已知AB=4，AD=3，AA1=2．E、F分別是線段AB、BC上的點(diǎn)，且EB=FB=1．
          （ I）求二面角C-DE-C1的正切值；（ II）求直線EC1與FD1所成的余弦值．
          			
          


			
          

		
          
		
		
	
          
		
          
			
          
				
          
				
          （I）以A為原點(diǎn)，
          AB
          ，
          AD
          ，
          AA1
          分別為x軸，y軸，z軸的正向建立空間直角坐標(biāo)系，
          則有D（0，3，0）、D1（0，3，2）、E（3，0，0）、F（4，1，0）、C1（4，3，2）
          于是，
          DE
          =(3，-3，0)，
          EC1
          =(1，3，2)，
          FD1
          =（-4，2，2）
          設(shè)向量
          n
          =(x，y，z)          與平面C1DE垂直，則有cosβ=
          EC1
          •
          FD1
          |
          EC1|
          ×|
          FD1
          |
          =
          1×(-4)+3×2+2×2
          		12+32+22
          ×
          		(-4)2+22+22
          =
          		21
          14
          n
          ⊥
          DE
          n
          ⊥
          EC1
          ⇒
          3x-3y=0
          x+3y+2z=0
          ⇒x=y=-
          1
          2
          z
          ∴
          n
          =(-
          z
          2
          ，-
          z
          2
          ，z)=
          z
          2
          （-1，-1，2），其中z＞0
          取
          n0
          =(-1，-1，2)，則
          n0
          是一個(gè)與平面C1          DE垂直的向量，
          ∵向量
          AA1
          =（0，0，2）與平面CDE垂直，
          ∴
          n0
          與
          AA1
          所成的角θ為二面角C-DE-C1          的平面角
          ∵cosθ=
          n0
          •
          AA1
          |n0
          |×
          |AA1
          |
          =
          -1×0-1×0+2×2
          		1+1+4
          ×
          		0+0+4
          =
          		6
          3

          ∴tanθ=
          		2
          2

          （II）設(shè)EC1與FD1所成角為β，則cosβ=
          EC1
          •
          FD1
          |
          EC1|
          ×|
          FD1
          |
          =
          1×(-4)+3×2+2×2
          		12+32+22
          ×
          		(-4)2+22+22
          =
          		21
          14
          				
          
							
          
			
          
			
          
			
			
          
		
          
	
          

		
          

		





			
          
		
          
		
				
          
				練習(xí)冊(cè)系列答案
		
          
		
				
			

					
          
				相關(guān)習(xí)題
			
          
						
		
          
			
          
				科目：高中數(shù)學(xué)
				來(lái)源：不詳
				題型：解答題
			
          

						
          三棱錐P-ABC中，∠PAB=∠PAC=∠ACB=90°，AC=2，BC=
          		13
          ，PB=
          		29
          ，求PC與AB所成角的余弦值．
          

			
          

			
          
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				科目：高中數(shù)學(xué)
				來(lái)源：不詳
				題型：解答題
			
          

						
          如圖在空間直角坐標(biāo)系中BC=2，原點(diǎn)O是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)是（
          		3
          2
          ，
          1
          2
          ，0          ），點(diǎn)D在平面yOz上，且∠BDC=90°，∠DCB=30°．
          （I）求向量
          OD
          的坐標(biāo)；
          （Ⅱ）設(shè)向量
          AD
          和
          BC
          的夾角為θ，求cosθ的值．
          

			
          

			
          
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				科目：高中數(shù)學(xué)
				來(lái)源：不詳
				題型：解答題
			
          

						
          如圖，在三棱柱A1B1C1-ABC中，A1A⊥平面ABC，A1A=AB=AC，AB⊥AC，點(diǎn)D是BC上一點(diǎn)，且AD⊥C1D．
          （1）求證：平面ADC1⊥平面BCC1B1；
          （2）求證：A1B∥平面ADC1；
          （3）求二面角C-AC1-D大小的余弦值．
          

			
          

			
          
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				科目：高中數(shù)學(xué)
				來(lái)源：不詳
				題型：解答題
			
          

						
          如圖，PA⊥平面ABCD，ABCD為正方形，，且PA=AD=2，E、F、G分別是線段PA、PD、CD的中點(diǎn)．
          （1）求證：面EFG⊥面PAB；
          （2）求異面直線EG與BD所成的角的余弦值；
          （3）求點(diǎn)A到面EFG的距離．
          

			
          

			
          
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				科目：高中數(shù)學(xué)
				來(lái)源：不詳
				題型：解答題
			
          

						
          如圖，已知在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=1，AB=2，F(xiàn)是PD的中點(diǎn)，E是線段AB上的點(diǎn)．
          （Ⅰ）當(dāng)E是AB的中點(diǎn)時(shí)，求證：AF∥平面PEC；
          （Ⅱ）要使二面角P-EC-D的大小為45°，試確定E點(diǎn)的位置．
          

			
          

			
          
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				科目：高中數(shù)學(xué)
				來(lái)源：不詳
				題型：解答題
			
          

						
          已知在長(zhǎng)方體ABCD-A′B′C′D′中，點(diǎn)E為棱CC′上任意一點(diǎn)，AB=BC=2，CC′=1．
          （Ⅰ）求證：平面ACC′A′⊥平面BDE；
          （Ⅱ）若點(diǎn)P為棱C′D′的中點(diǎn)，點(diǎn)E為棱CC′的中點(diǎn)，求二面角P-BD-E的余弦值．
          

			
          

			
          
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				科目：高中數(shù)學(xué)
				來(lái)源：不詳
				題型：解答題
			
          

						
          已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1，AC∩BD=O．將正方形ABCD沿對(duì)角線BD折起，使AC=1，得到三棱錐A-BCD，如圖所示．
          （Ⅰ）若點(diǎn)M是棱AB的中點(diǎn)，求證：OM∥平面ACD；
          （Ⅱ）求證：AO⊥平面BCD；
          （Ⅲ）求二面角A-BC-D的余弦值．
          

			
          

			
          
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				科目：高中數(shù)學(xué)
				來(lái)源：不詳
				題型：解答題
			
          

						
          已知分別為橢圓的上、下焦點(diǎn),是拋物線的焦點(diǎn),點(diǎn)是與在第二象限的交點(diǎn), 且
          （1）求橢圓的方程;
          （2）與圓相切的直線交橢于,若橢圓上一點(diǎn)滿足,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
          

			
          

			
          
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